正、余弦定理的应用举例

2.2.2正、余弦定理的应用举例（2）
知识梳理

2. 解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。
3. 解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。
典例剖析
题型一 正、余弦定理在几何中的应用
例1如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OP?OCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝ ＋ (5－4cosθ)
＝2sin(θ－ )＋
∴当θ－ ＝ 即θ＝ 时，ｙmax＝2＋
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性 另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视 ?
题型二 正、余弦定理在函数中的应用
例2 如图，有两条相交成 角的直线 、 ，交点是 ，甲、乙分别在 、 上，
起初甲离 点 千米，乙离 点 千米，后来两人同时用每小时 千米的速度，甲沿 方向，乙沿 方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含 的式子表示 小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）设甲、乙两人起初的位置是 、 ，
则
，
∴起初，两人的距离是 ．
（2）设甲、乙两人 小时后的位置分别是 ，
则 ， ，
当 时， ；
当 时， ，
所以， ．
（3） ，
∴当 时，即在第 分钟末， 最短。
答：在第 分钟末，两人的距离最短。
评析：（2）中，分0 t 和t> 两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。
备选题 正、余弦定理的综合应用
例3 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设?MGA＝?（ ）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）；表示为?的函数，
（2）求y＝ 的最大值与最小值。
解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝ ，?MAG＝ ，由正弦定理
得 ，
则S1＝ GM?GA?sin?＝ 。同理可求得S2＝ 。
（2）y＝ ＝ ＝72（3＋cot2?）
因为 ，
所以当?＝ 或?＝ 时，y取得最大值ymax＝240，当?＝ 时，y取得最小值ymin＝216。
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数 ，这些解题思维的拐点。
点击双基
1．在△ABC中， ，则△ABC 的面积为（ ）
A. B. C. D. 1
解：S = =4sin10 sin50 sin70 =4cos20 cos40 cos80
= = = =
答案：C

2.如图所示:在一幢20m高的楼顶A测得对面一塔顶C的仰角为 60 ,塔基D的俯角为 45 ,则这座塔的高是( )
A. 20 m B. 10 m C. (10+ 10 )m D. (20+20 )m
解：可知 BAD=45 ,AE=20, AB=20, BAC=60 ,
CB=ABtan60 =20 所以这座塔的高CD=(20+20 )m
答案：D
3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°
解：A,B可根据余弦定理求解，只有一解，选项C中，A为锐角，且a>b, 只有一解.
选项D中 所以有两个解。
答案：D
4. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每小时航行____。
解：10海里
5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离 与第二辆车与第三辆车的距离 之间的关系为 （ ）
A. B.
C. D. 不能确定大小
解：依题意知BC= ,CD= , BAC= CAD.
△ABC中 ,
△ACD中 ,
BC答案：C
课后作业
1.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
答案：A
2.边长分别为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A. 90 B. 120 C. 135 D. 150
解：用余弦定理算出中间的角为60 .
答案：B
3. 下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（ ）
A.sinA+cosA= B. ? ＞0 C.tanA+tanB+tanC＞0 D.b=3，c=3 ，B=30°
解：由sinA+cosA= 得2sinAcosA=－ ＜0，∴A为钝角.
由 ? ＞0，得 ? ＜0，∴cos〈 ， 〉＜0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）?（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.
由 = ，得sinC= ，∴C= 或 .
答案：C
4、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
解： 答案：B
5.某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A．450a元B．225a元 C．150a元 D. 300a元
解：S= =150 购买这种草皮至少要 150a元
答案：C
6.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A． 分钟B． 分钟C．21.5分钟D．2.15分钟
解：设航行时间为t小时，则两船相距
=
t=- 小时= 分钟
答案：A
7.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为60°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）
A．5000米B．5000 米C．4000米D． 米

解： =30°, DBC=60°,AB=1000. CB=10000.BD=5000
答案：A
8 如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为
A 75°B 60°C 50°D 45°
解：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α 要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中， =
∴DF=
∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大
答案：C
二．填空题
9.某船在海面A处测得灯塔C与A相距 海里，且在北偏东 方向；测得灯塔B与A相距 海里，且在北偏西 方向。船由 向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西 方向。这时灯塔C与D相距 海里
答案：
10.在△ABC中，已知 60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是
解：asinB答案：
11．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东 ，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为
km
答案：
三．解答题
12.某人在M汽车站的北偏西20 的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40 。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在 ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC= = ,
则sin C =1- cos C = ,
sinC = ,
所以 sin MAC = sin（120 -C）= sin120 cosC - cos120 sinC =
在 MAC中，由正弦定理得 MC = = =35
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
13．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知 ， ，于A处测得水深 ，于B处测得水深 ，于C处测得水深 ，求∠DEF的余弦值。
解：作 交BE于N，交CF于M．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
，
，
．　
在 中，由余弦定理，

14. 在 中，角A、B、C的对边分别为 、 、 ，
，又 的面积为 .（1）求角C的大小；（2）求 的值.
解：（1）由已知得 ，所以 ， ；
（2）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以
所以 ， = = =5
●思悟小结
1.三角形中的边角问题的求解，或三角形的形状的判定，及其与三角形有关的问题的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角恒等变形去解决。
2. 判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及三角变换将已知的边角关系全转化为边的关系或全转化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后判定三角形的形状。注意变换过程中等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能。

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报，一经查实，本站将立刻删除。