二项式定理

目标：
知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题
情感、态度与价值观：过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型：新授课
课时安排：3课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．
教学过程：
一、复习引入：
⑴ ；
⑵
⑶ 的各项都是 次式，
即展开式应有下面形式的各项： ， ， ， ， ，
展开式各项的系数：上面 个括号中，每个都不取 的情况有 种，即 种， 的系数是 ；恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，有 都取 的情况有 种， 的系数是 ，
∴ ．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴ 的展开式的各项都是 次式，即展开式应有下面形式的各项：
， ，…， ，…， ，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取 的情况有 种，即 种， 的系数是 ；
恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，……，
恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，……，
有 都取 的情况有 种， 的系数是 ，
∴ ，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 的二项展开式，⑶它有 项，各项的系数 叫二项式系数，
⑷ 叫二项展开式的通项，用 表示，即通项 ．
⑸二项式定理中，设 ，则
三、讲解范例：
例1．展开 ．
解一： ．
解二：
．
例2．展开 ．
解：

．
例3．求 的展开式中的倒数第 项
解： 的展开式中共 项，它的倒数第 项是第 项，
．
例4．求（1） ，（2） 的展开式中的第 项．
解：（1） ，
（2） ．
点评： ， 的展开后结果相同，但展开式中的第 项不相同
例5．（1）求 的展开式常数项；
（2）求 的展开式的中间两项
解：∵ ，
∴（1）当 时展开式是常数项，即常数项为 ；
（2） 的展开式共 项，它的中间两项分别是第 项、第 项，
，
例6．（1）求 的展开式的第4项的系数；
（2）求 的展开式中 的系数及二项式系数
解： 的展开式的第四项是 ，
∴ 的展开式的第四项的系数是 ．
（2）∵ 的展开式的通项是 ，
∴ ， ，
∴ 的系数 ， 的二项式系数 ．
例7．求 的展开式中 的系数
分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开
解：（法一）
，
显然，上式中只有第四项中含 的项，
∴展开式中含 的项的系数是
（法二）：

∴展开式中含 的项的系数是 ．
例8．已知 的展开式中含 项的系数为 ，求展开式中含 项的系数最小值
分析：展开式中含 项的系数是关于 的关系式，由展开式中含 项的系数为 ，可得 ，从而转化为关于 或 的二次函数求解
解： 展开式中含 的项为

∴ ，即 ，
展开式中含 的项的系数为
，
∵ ， ∴ ，
∴
，∴当 时， 取最小值，但 ，
∴ 时， 即 项的系数最小，最小值为 ，此时 ．
例9．已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
解：由题意： ，即 ，∴ 舍去）
∴
①若 是常数项，则 ，即 ，
∵ ，这不可能，∴展开式中没有常数项；
②若 是有理项，当且仅当 为整数，
∴ ，∴ ，
即 展开式中有三项有理项，分别是： ， ，
例10．求 的近似值，使误差小于 ．
解： ，
展开式中第三项为 ，小于 ，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，
∴ ，
一般地当 较小时
四、课堂练习：
1.求 的展开式的第3项.
2.求 的展开式的第3项.
3.写出 的展开式的第r+1项.
4.求 的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1） ；（2） .
6.化简：（1） ；（2）
7． 展开式中的第 项为 ，求 ．
8．求 展开式的中间项
答案：1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数 ，第4项的系数
5. （1） ；
（2） .
6. （1） ；
（2）
7. 展开式中的第 项为

8. 展开式的中间项为
五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察――归纳――猜想――证明；二项式定理及通项公式的特点
六、课后作业： P36 习题1.3A组1. 2. 3.4
七、板书设计（略）
八、教学反思：
(a+b) ｎ =
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中 （r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理是指
这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn－1，同时 =e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y= 与积分公式 =dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+ (x－x0)2+… (x－x0)n+ (θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.
怎样使二项式定理的教学生动有趣
正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？
怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.

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