逍遥学能 2018-10-18 10:21
2018-2019学年河南省开封市西北片区联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
2．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若x＜0，则 的结果是（ ）
A．0 B．?2 C．0或?2 D．2
4．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB =60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
5．（3分）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC= ，则点B的坐标为（ ）
A．（ ，1） B．（1， ） C．（ +1，1） D．（1， +1）
6．（3分）如下图过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．（3分）已知如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，▱ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
9．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（ ）
A． B． C．2.5 D．2.3
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
二、填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）二次根式 有意义的条件是 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 ．
13．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 ．
14．（3分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是 ．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是 ．
三、解答题：（六大题，共55分）
16．（5分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4+b2c2=b4+a2c2，试判断△ABC的形状．
阅读下面解题过程：
解：由a4+b2c2=b4+a2c2得：a4?b4=a2c2?b2c2①
（a2+b2）（a2?b2）=c2（a2?b2） ②
即 a2+b2=c2③
∴△ABC 为RT△．④
试问：以上解题过程是否正确： ．
若不正确，请指出错在哪一步？ （填代号）
错误原因是 ．
本题的结论应为 ．
17．（20分）计算题：
（1）
（2）（ ）?（ ）
（3）（2 ）（2 ）
（4）（4 ）
18．（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竿长多少米？
19．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）直接写出当△ABC满足 条件时，矩形AEBD是正方形．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC=30°，AB=2．求CF的长．
21．（10分）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段 ， ；S矩形AEFG：S▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
2018-2019学年河南省开封市西北片区联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
2．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为：B、 =4 ；
C、 = ；
D、 =2 ；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
3．（3分）若x＜0，则 的结果是（ ）
A．0 B．?2 C．0或?2 D．2
【解答】解：若x＜0，则 =?x，
∴ = = =2，
故选：D．
4．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【解答】解：因为在矩形ABCD中，所以AO= AC= BD=BO，
又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=2，
所以AC=2AO=4．
故选：B．
5．（3分）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC= ，则点B的坐标为（ ）
A．（ ，1） B．（1， ） C．（ +1，1） D．（1， +1）
【解答】解：作CD⊥x轴于点D，
∵四边形 OABC是菱形，OC= ，
∴OA=OC= ，
又∵∠AOC=45°
∴△ OCD为等腰直角三角形，
∵OC= ，
∴OD=CD=OC×sin∠COD=OC×sin45°=1，
则点C的坐标为（1，1），
又∵BC=OA= ，
∴B的横坐标为OD+BC=1+ ，
B的纵坐标为CD=1，
则点B的坐标为（ +1，1）．
故选：C．
6．（3分）如下图过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥AC，HG=EF=AC，EH=FG=BD
∴四边形EFHG，AHGC，AEFC都是平行四边形，
∴HG=AC，EH=BD
又∵矩形的对角线相等，
∴AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFHG是菱形．
故选：C．
7．（3分）已知如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根据折叠方式可得：△AED≌△AEF ，
∴AF=AD=BC=10cm，DE=EF，
设EC=xcm，则DE=（8?x）cm．
∴EF=（8?x）cm，
在Rt△ABF中，BF= =6cm，
∴FC=BC?BF=4cm．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，
即：x2+42=（8?x）2，
解得x=3．
∴EC的长为3cm．
故选：A．
8．（3分）如图，▱ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故选：C．
9．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（ ）
A． B． C．2.5 D．2.3
【解答】解：延长AF、BC交于点G．
∵AD∥B C，
∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．
又DF=CF，
∴△AFD≌△GFC．
∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7．
∵AF⊥AB，AB=6，
∴BG=10．
∴BC=BG?CG=7.3．
∵ AE=BE，
∴∠BAE=∠B．
∴∠EAG=∠AGE．
∴AE=GE．
∴BE= BG=5．
∴CE=BC?BE=2.3．
故选：D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2=SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3=S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4=SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
=（S1+S3）+S2+S4
=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC
=SRt△ABC×3
=4×3÷2×3
=18．
故选：C．
二、填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）二次根式 有意义的条件是 x≥0，且x≠9 ．
【解答】解：根据题意，得
，
解得，x≥0，且x≠9；
故答案是：x≥0，且x≠9．
12．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 AC=BD或∠BAD=90°等（答案不唯一） ．
【解答】解：因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
所以四边形ABCD是平行 四边形，
要判断平行四边形ABCD是矩形，
根据矩形的判定定理，
故填：∠BAD=90°或AC=BD等．
13．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 3 ．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长等于24，
∴AD= =6，
在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，
∴OH= AD=3．
故答案为：3．
14．（3分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是 对角线互相垂直的四边形 ．
【解答】解：∵四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，
∴四边形ABCD的对角线一定垂直，只要符合此条件即可，
∴四边形ABCD可以是对角线互相垂直的四边形．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥D F；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是 ①②④⑤⑥ ．
【解答】解：
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确；
∵根据已知不能推出AB=DE，∴③错误；
∵BN⊥AC，DM⊥AC，
∴∠BNO=∠DMO=90°，
在△BNO和△DMO中
∴△BN O≌△DMO（AAS），
∴BN=DM，
∵S△ADE= ×AE×DM，S△ABE= ×AE×BN，
∴S△ADE=S△ABE，∴⑤正确；
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，∴⑥正确；
故答案为：①②④⑤⑥．
三、解答题：（六大题，共55分）
16．（5分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4+b2c2=b4+a2c2，试判断△ABC的形状．
阅读下面解题过程：
解：由a4+b2c2=b4+a2c2得：a4?b4=a2c2?b2c2①
（a2+b2）（a2?b2）=c2（a2?b2） ②
即 a2+b2=c2③
∴△ABC 为RT△．④
试问：以上解题过程是否正确： 不正确 ．
若不正确，请指出错在哪一步？ ③ （填代号）
错误原因是 等式的两边同除以a2?b2时，必须a2?b2≠0，但这里不确定a2?b2≠0 ．
本题的结论应为 △ABC为等腰三角形或直角三角形 ．
【解答】解：这个解题过程不正确．③有问题，
理由：等式的两边同除以 a2?b2 时，必须 a2?b2≠0，但这里不确定 a2?b2≠0，
由a4+b2c2=b4+a2c2得：a4?b4=a2c2?b2c2①
（a2+b2）（a2?b2）=c2（a2?b2） ②
（a2?b2）（a2+b2?c2）=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：不正确，③，等式的两边同除以 a2?b2时，必须 a2?b2≠0，但这里不确定 a2?b2≠0，△ABC 为等腰三角形或直角三角形；
17．（20分）计算题：
（1）
（2）（ ）?（ ）
（3）（2 ）（2 ）
（4）（4 ）
【解答】解：（1）原式=3 ?4 +
=0；
（2）原式=2 + ? +
=3 + ；
（3）原式=12?6
=6；
（4）原式=2? ．
18．（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竿长多少米？
【解答】解：设竿长x米，则城门高（x?1）米，根据题意得
x2=（x?1）2+32 ，
解得x=5．
答：竿长5米．
19．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）直接写出当△ABC满足 ∠BAC=90° 条件时，矩形AEBD是正方形．
【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
故答案是：∠BAC=90°．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC=30°，AB=2．求CF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=DC，
∵AE∥DB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，即D为CE中点，
∵AB=2，
∴CE=4，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
过E作EH⊥BF于点H，
∵CE=4，∠ ECF=45°，
∴EH=CH=2 ，
∵∠EFC=30°，
∴FH=2 ，
∴CF=2 +2 ．
21．（10分）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AE FG，则操作形成的折痕分别是线段 AE ， GF ；S矩形AEFG：S▱ABCD= 1：2 ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如 图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；
由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，
∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，
∴S矩形AEFG= S▱ABCD，
∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；
故答案为：AE，GF，1：2；
（2）∵四边形EFGH是矩形，EF=5，EH=12，∠FEH=90°，
∴FH= = =13，
由折叠的性质得：DH=NH，AH=HM，CF=FN，
∴CF=AH，
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13；
（3）有以下两种基本折法：
①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE= AB=4，CF=DF= CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，
∴BM=FM=4，
∴GM=CM= = =3，
∴AD=BG=BM?GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：四边形EMHG的面积= 梯形ABCD的面积，AE=BE= AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH= CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM= =3，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积= （AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC= ，
∴BC= ?x，
∴MC=BC?BM= ?x?3，
∵MN=MC，
∴3+x= ?x?3，
解得：x= ，
∴AD= ，BC= ? = ．