逍遥学能 2014-06-02 18:44
第2章 三角形检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、（每小题3分，共24分）
1.（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A.2B.4C.6D.8
2.（2013•襄阳）如图，在△ 中，点 是 延长线上一点， =40°， =120°，则 等于（ ）
A.60°B.70°C.80°D.90°
3.如图，已知 ，下列条件能使△ ≌△ 的是（ ）
A. B. C. D. 三个答案都是
4.（2013•武汉）如图，在△ 中， =36° 是 边上的高，则 的度数是（ ）
A.18°B.24°
C.30°D.36°
5.（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A.12B.15
C.12或15D.18
6.（2013•湘潭）如图，在△ 中， ，点 在 上，连接 ，如果只添加一个条件使 ，则添加的条件不能为（ ）
A. B. C. D.
第6题图 第7题图 第8题图
7.（2013•遂宁）如图，在△ 中， =90°， =30°，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 于点 和 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是（ ）
① 是 的平分线；② =60°；③点 在 的中垂线上；
④ =1∶3.
A.1B.2C.3D.4
8.（2013•威海）如图,在△ 中, =36° 的垂直平分线 交 于点 交 于点 连接 .下列结论错误的是（ ）
A. =2 B. 平分
C. D.点 为线段 的黄金分割点
二、题（每小题3分，共24分）
9.如图所示，△ 的高 相交于点 ．请你添加一对相等的线段或一对相等的角作
为条件，使 ．你所添加的条件是 .
10.（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放,点 在 上,AC经过点D.已知∠A=
∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= .
11.（2013•上海）当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中 称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .
12.（2013•雅安）若 + =0，则以 为边长的等腰三角形的周长为 .
13.（2013•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长
为 .
14.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF
⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是 .
15.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；
③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是 （将你认为正确的结论的序号都填上）．
16.如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠BCE= 度.
三、解答题（共52分）
17.（6分）（2013•杭州节选）如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数.
第17题图
18.（6分）（2013•乐山）如图，已知线段AB.
（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线 （保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）中所作的直线 上任意取两点M，N（线段AB的上方），连接AM，AN，BM，BN.求证：∠MAN=∠MBN.
第18题图 第19题图
19.（6分）（2013•上海）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B＞∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:DE=EF;
(2)连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠DGC.
20.（8分）（2013•威海）操作发现
将一副直角三角板如图（1）摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.
第20题图(1)
问题解决
将图（1）中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上.AC与BD交于点O,连接CD,如图（2）.
第20题图(2)
(1)求证:△CDO是等腰三角形;
(2)若DF=8,求AD的长.
21.(6分)如图， ，那么 与 是否相等？
为什么？
22.(6分)如图，在△ 中， ， 交 于点 .
求证： ．
23.（6分）如图， 是 内的一点， ，垂足分别为 ．
求证：（1） ；（2）点 在 的平分线上．
24.(8分)已知：在△ 中， ，点 是 的中点，点 是 边上一点．
（1） 垂直 于点 ，交 于点 （如图①），求证： .
（2） 垂直 ，垂足为 ，交 的延长线于点 （如图②），找出图中与 相等的线段，并证明．
第2章 三角形检测题参考答案
1.B 解析:本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为 ，∵ ,
∴ ，只有选项B正确.
2.C 解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知 ，从而求出 的度数，即∵ ，
∴ 120° 40°=80°.故选C.
3.D 解析：添加A选项中条件可用 判定两个三角形全等；添加B选项中条件可用 判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用 判定两个三角形全等，故选D．
4.A 解析:在△ 中，因为 ，所以 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，所以 .
5.B 解析:当等腰三角形的腰长为3时，它的三边长为3，3，6，由于3+3=6，所以这个三角形不存在.当等腰三角形的腰长为6时，它的三边长为6，6，3，满足任意两边之和大于第三边，所以这个三角形存在,它的周长为15.
6.C 解析：当 时，都可以分别利用SAS,AAS,SAS来证明△ ≌△ ，从而得到 ，只有选项C不能.
7.D 解析：①根据作图的过程可知， 是 的平分线．故①正确.
②如图，∵ 在△ 中， =90°， =30°，∴ =60°．
又∵ 是 的平分线，∴ ∠1=∠2= =30°，
∴ .故②正确.
③∵ ，∴ ，∴ 点 在 的中垂线上．故③
正确.
④如图，在Rt△ 中，∵ ∠2=30°，∴ ∴
∴ , ．
∴ ，
∴ =1∶3．故④正确．
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．故选D．
8.C 解析:本题综合考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线与角的平分线的性质、相似三角形与黄金分割等知识.∵ =36°， ,∴ .∵ 是 的垂直平分线，∴ ,∴ ，∴ ，
∴ 平分 ,∴ 选项A与B都正确.
由 平分 ，∴ .在△ 中， 180° 36° 72° 72°，∴ ，即 .在Rt△ 中， ,则 .
如图，作 ,则 .又 故 ，∴ 选项C错误.由已知可证明△ ∽△ ,∴ ，
∴ .∵ ,∴ ,∴ 点 为线段 的黄金分割点.∴ 选项D正确.
9. 或 或 或 等（答案不唯一）
解析：此题答案不唯一. ∵ △ 的高 相交于点 ，
∴ 90°.
∵ ，要使 ，只需△ ≌△ ，
当 时，利用HL即可证得△ ≌△ ；
当 时，利用AAS即可证得△ ≌△ ；
同理：当 也可证得△ ≌△ ；
当 时， ，∴ 当 时，也可证得△ ≌△ ．
故答案为： 或 或 或 等．
10.25° 解析:∵ =90°， ,∴ 45°，
∴ 45°+40° 85°.
在△ 中， 180° 85° 30° 65°,
∴ 90° 65° 25°.
11.30° 解析:本题考查了三角形的内角和.设三角形的三个内角分别是 ,由题意知 100°,则 50°,由三角形的内角和定理知 180°,∴ 30°,∴ 这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
12.5 解析：根据题意，得 ，解得
①若 是腰长，则底边长为2，三角形的三边长分别为1，1，2，
∵ 1+1=2，∴ 不能组成三角形;
②若 是腰长，则底边长为1，三角形的三边长分别为2，2，1，
能组成三角形，周长=2+2+1=5．故填5．
13.1.5 解析:如图，延长 交 于点 ,
由 是角平分线， 于点 ，可以得出△ ≌
△ ，∴ 2， .
在△ 中，∵ ∴ 是△ 的中位线,
∴ ( )= ＝ ×3
1.5.
14. 垂直平分 解析：∵ 是△ 的角平分线， 于点 于点 ，
∴ .
在Rt△ 和Rt△ 中， ∴ △ ≌△ （HL），∴ .
又 是△ 的角平分线，∴ 垂直平分 .
15.①②③ 解析：∵ 90°， ，∴ △ ≌△ .
∴ ∴ ②正确.
又∵ ∴ △ ≌△ ，∴ ③正确.
又∵∠1 ，∠2 ，∴ ∠1=∠2，∴ ①正确，
∴ 题中正确的结论应该是①②③.
16.39 解析：∵ △ 和△ 均为等边三角形，
∴
∵
∴ ∴ △ ≌△ ，∴
17.分析：本题考查了等腰三角形、三角形外角的性质.利用等腰三角形的两底角相等和三角形外角的性质设未知数列方程求解.
解：∵ ∴
而
设 则可得 84°,则 21°,即 21°.
18.分析：（1）根据线段垂直平分线的性质作图.
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可得 又 是公共边，从而利用SSS可证得△ ≌△ ,进而得到 .
（1）解：作图如图所示：
（2）证明：根据题意作出图形（如图）.
∵ 点M，N在线段AB的垂直平分线 上，∴ AM＝BM，AN＝BN.
又∵ MN=MN,∴ △AMN≌△BMN（SSS）.∴ ∠MAN=∠MBN.
19.分析：本题考查了三角形的中位线、全等三角形、直角三角形的性质以及三角形的外角和定理.(1)要证明DE=EF,先证△ADE≌△CFE.(2)CD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴ CD AD,∴ ∠1=∠A.而∠1+∠3=90°,∠A+∠B=90°,可得∠B=∠3.由CF∥AB可得∠2=∠A,要证∠B=∠A+∠DGC,只需证明∠3=∠2+∠DGC.
证明：(1)∵ 点D为边AB的中点（如图）,DE∥BC,∴ AE=EC.
∵ CF∥AB,∴ ∠A=∠2.
在△ADE和△CFE中, ∴ △ADE≌△CFE(ASA),∴ DE=EF.
(2)在Rt△ACB中,∵ ∠ACB=90°,点D为边AB的中点,∴ CD=AD,∴ ∠1=∠A.
∵ DG⊥DC,∴ ∠1+∠3=90°.又∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠3.
∵ CF∥AB,∴ ∠2=∠A.∵ ∠3=∠2+∠DGC,∴ ∠B=∠A+∠DGC.
点拨：证明两个角相等的常用方法：①等腰三角形的底角相等；②全等(相似)三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角（内错角）相等；④角的平分线的性质；⑤同角（或等角）的余角（或补角）相等；⑥对顶角相等；⑦借助第三个角进行等量代换．
20.分析：(1)只要通过证明∠CDO=∠COD就可得到△CDO是等腰三角形.利用BC=BD，
∠DBC=30°,求出∠BDC=∠BCD=75°,而∠COD=45°+30°=75°，从而得出∠CDO
∠COD.
(2)过点D，A分别作出△BDF与△ABC的高，将梯形分成两个直角三角形和一个矩形后，利用解直角三角形和矩形的性质等知识求解.
(1)证明：由题图（1）知BC=DE,∴ ∠BDC=∠BCD.
∵ ∠DEF=30°,∴ ∠BDC=∠BCD=75°.
∵ ∠ACB=45°,∴ ∠DOC=30°+45°=75°.∴ ∠DOC=∠BDC.
∴ △CDO是等腰三角形.
(2)解：如图，过点A作AG⊥BC,垂足为点G,过点D作DH⊥BF,垂足为点H.
在Rt△DHF中,∠F=60°,DF=8,∴ DH=4 ,HF=4.
在Rt△BDF中,∠F=60°,DF=8,∴ BD=8 ,BF=16.
∴ BC=BD=8 .
∵ AG⊥BC,∠ABC=45°,∴ BG=AG=4 ,∴ AG=DH.
∵ AG∥DH,∴ 四边形AGHD为矩形.∴ AD=GH=BF-BG-HF=16-4 -4=12-4 .
21.解：相等.理由：连接 .
因为 所以△ ≌△ ，所以 .
22.证明：在△ 中，因为 ，所以 .
又因为 ，所以
所以 .
所以 .
所以 ．
23.证明：（1）连接 .因为 ，
所以Rt△ ≌Rt△ ，所以
（2）因为Rt△ ≌Rt△ ，所以 ，
所以点 在 的平分线上.
24.（1）证明：因为 垂直 于点 ,所以 ，所以 .
又因为 ，所以 .
因为 , ，所以 .
又因为点 是 的中点，所以 .
因为 ，所以△ ≌△ ，所以 .
(2)解： .证明如下：
在△ 中，因为 , ，
所以 .
因为 ，即 ,所以 ,所以 .
因为 为等腰直角三角形斜边上的中线,所以 .
在△ 和△ 中, , ,
所以△ ≌△ ,所以 .