逍遥学能 2018-09-13 14:15
必考Ⅰ部分
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z=(1+ai)?(2+i)是纯虚数，则实数a的值为
A.2 B.- C. D.-2
2.如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是
A.“概念”与“分类”是从属关系
B.“等差数列”与“等比数列”是从属关系
C.“数列”与“等差数列”是从属关系
D.“数列”与“等比数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系
3.下列说法中错误的是
A.对于命题p：?x0∈R，sin x0>1，则绨p：?x∈R，sin x≤1;
B.命题“若0
C.若p∨q为真命题，则p，q均为真命题;
D.命题“若x2-x-2=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-x-2≠0”.
4.“1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
5.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是
A.=0.7x+0.35 B.=0.7x+1
C.=0.7x+2.05 D.=0.7x+0.45
6.三角形的面积为S=(a+b+c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为
A.V=abc
B.V=Sh
C.V=(S1+S2+S3+S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
D.V=(ab+bc+ac)h，(h为四面体的高)
7.函数f(x)=x5-x4-4x3+7的极值点的个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.已知椭圆+=1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|(O为原点)的长为
A.1 B.2 C.3 D.4
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得 分
答案
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
9.已知复数z=1+，则||=____________.
10.读下面的程序框图，当输入的值为-5时，输出的结果是________.
11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中的白色地面砖有______________块.
12.曲线f(x)=xsin x在点处的切线方程是______________.
13.已知双曲线-=1(a，b>0)的顶点到渐近线的距离等于，则双曲线的离心率e是________.
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14.(本小题满分11分)
在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：
分数段 [29～40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
午休考生
人数 23 47 30 21 14 31 14
不午休考
生人数 17 51 67 15 30 17 3
参考公式及数据：K2=
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
(1)根据上述表格完成列联表：
及格人数 不及格人数 总计
午休
不午休
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系?对今后的复习有什么指导意义?
15.(本小题满分12分)
已知：a，b，c>0.求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc.
16.(本小题满分12分)
已知抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点M，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1) 求证：y1y2是一个定值;
(2) 求证：直线MB平行于x轴.
必考Ⅱ部分
一、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
1.从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________.
二、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2.已知定义在R上的函数f(x)的导数是f′(x)，若f(x)是增函数且恒有f(x)>0，则下列各式中必成立的是
A.2f(-1)2f(-3)
C.2f(1)>f(2) D.3f(2)>2f(3)
三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
3.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=-x3+3x.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)当x∈[0，a]，a>0时，设f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表达式.
4.(本小题满分13分)
(1)证明：xln x≥x-1;
(2)讨论函数f(x)=ex-ax-1的零点个数.
5. (本小题满分14分)
如图，已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b>0)有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且⊥(O为原点).
(1)求b的值;
(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.
求证：⊥，并求|AB|的取值范围.
湖南师大附中2018届高二第一学期期末考试试题
数学(文科)参考答案
必考Ⅰ部分(100分)
6.C 【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c;类比：设四面体A-BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体， 高都为r，所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.
7.B 【解析】f′(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6)，
所以f(x)有两个极值点x=-2及x=6.
8.D 【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2|=8，而ON是△MF1F2的中位线，故|ON|=4.
二、填空题
9.
10.2 【解析】①A=-5<0，②A=-5+2=-3<0，③A=-3+2=-1<0，
④A=-1+2=1>0，⑤A=2×1=2.
11.4n+2 【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n+2块.
12.x-y=0
13. 【解析】由题意知=tan 30°=?e==.
∵K2≈5.7>5.024，
因此，有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系.(10分)
对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态.(11分)
(2)据题意设A，M(-1，yM)，(8分)
由A、M、O三点共线有=?y1yM=-4，(10分)
又y1y2=-4
则y2=yM，故直线MB平行于x轴.(12分)
必考Ⅱ部分(50分)
一、填空题
1.10 【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|=|PF|=yP+1=5，∴yP=4，
则|xP|=4，S△MPF=|MP||xP|=10.
二、选择题
2.B 【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性，而f′(x)>0且f(x)>0，则当x<0时′=<0，
即函数在(-∞，0)上单调递减，故选B.
三、解答题
3.【解析】(1)f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)
列表如下：
x (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞)
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减
所以：f(x)的递减区间有：(-∞，-1)，(1，+∞)，递增区间是(-1，1);
f极小值(x)=f(-1)=-2，f极大值(x)=f(1)=2.(7分)
(2)由(1)知，当0
此时fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)
当a>1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，
即当x∈[0，a]时fmax(x)=f(1)=2(12分)
综上有h(a)=(13分)
4.【解析】 (1)设函数φ(x)=xln x-x+1，则φ′(x)=ln x(1分)
则φ(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，(3分)
φ(x)有极小值φ(1)，也是函数φ(x)的最小值，则φ(x)≥φ(1)=1×ln 1-1+1=0
故xln x≥x-1.(5分)
(2)f′(x)=ex-a(6分)
①a≤0时，f′(x)>0，f(x)是单调递增函数，又f(0)=0，
所以此时函数有且仅有一个零点x=0;(7分)
②当a>0时，函数f(x)在(-∞，ln a)上递减，在(ln a，+∞)上递增，
函数f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)
?.当a=1时，函数的极小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0
则函数f(x)仅有一个零点x=0;(10分)
?.当01时，由(1)知极小值f(ln a)=a-aln a-1<0，又f(0)=0
当0
故此时f(x)?+∞，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根;
当a>1时，2ln a>ln a>0，计算f(2ln a)=a2-2aln a-1
考查函数g(x)=x2-2xln x-1(x>1) ，则g′(x)=2(x-1-ln x)，
再设h(x)=x-1-ln x(x>1)，h′(x)=1-=>0
故h(x)在(1，+∞)递增，则h(x)>h(1)=1-1-ln 1=0，
所以g′(x)>0，即g(x)在(1，+∞)上递增，则g(x)>g(1)=12-2×1×ln 1-1=0
即f(2ln a)=a2-2aln a-1>0，
则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根.
故01时函数f(x)都是恰有两个零点.
综上：当a∈(-∞，0]∪{1}时，函数f(x)恰有一个零点x=0，
当a∈(0，1)∪(1，+∞)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)
5.【解析】(1)当MN⊥x轴时，MN的方程是x=±，
设M，N
由⊥知|y1|=，
即点在椭圆上，代入椭圆方程得b=2.(3分)
(2)当l⊥x轴时，由(1)知⊥;
当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0
则=?3m2=8(1+k2)(5分)
?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则，(7分)
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
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==0，即⊥.
即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)
(2)当l⊥x轴时，易知|AB|=2=(10分)
当l不与x轴垂直时，|AB|==
=(12分)
设t=1+2k2∈[1，+∞)，∈(0，1]
则|AB|==
所以当=即k=±时|AB|取最大值2，
当=1即k=0时|AB|取最小值，
(或用导数求函数f(t)=，t∈[1，+∞)的最大值与最小值)
综上|AB|∈.(14分)