2013年高二下册数学期中试题（北师大版附答案）

正阳高中高二下期第一次月考数学试题
第一卷 试题卷
一、：（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）
1．如图所示， 是全集， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．已知向量 ，则向量 的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于 (　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8
4．若直线 过圆 的圆心，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5.“ ”是“直线 和 平行”的 （ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知 ，并且 是第二象限的角，那么 的值等于 （ ）
A. B. C. D.
7．若直线 不平行于平面 ，且 ，则 ( )
A. 内的所有直线与 异面 B. 内不存在与 平行的直线
C. 内存在唯一的直线与 平行 D. 内的直线与 都相交
8．下列命题中错误的个数是 （ ）
①命题“若 则x=1”的否命题是“若 则x≠1”
②命题P: ,使 ，则 ,使
③若P且q为假命题，则P、q均为假命题
④ 是函数 为偶函数的充要条件
A．1 B.2 C.3 D.4
9．有6人被邀请参加一项活动，必然有人去，去几人自行决定，共有（　　）种不同去法
A. 36种　 B. 35种　 C. 63种 　D. 64种
10．二项式 的展开式的第二项的系数为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
11．已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的两点， ，则线段 的中点到 轴的距离为 （ ）
A. B. C. D.
12．若多项式 = ，则 （ ）
A．9 B．10 C． D．
二、题：（每小题5分，共20分）
13． 如图，点 是圆 上的点， 且 ，则圆 的面积等于 ．
14．设向量 ，若向量 与向量 共线，则
15．已知数列 为等差数列，若 ，则 ．
16．如果一条直线 和平面 内的一条直线平行，那么直线 和平面 的关系是 .
三、解答题：（写出必要的解题过程，6大题共70分）
17.（本题满分10分）
设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量 的期望EX与方差DX．
X－101
P
1－2qq2
18.(本题满分12分)
已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及单调递增区间；（6分）
（Ⅱ）在 中，若 , ， ，求 的值.（6分）
19.(本题满分12分)
已知数列{an}的前n项和 ,且Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；（5分）
（2）求数列 的前n项和Tn。（7分）
20.（本题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样法（层内采用不放回的简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取3人进行技术考核.
（1）求甲，乙两组各抽取的人数；（2分）
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率；（3分）
（3）令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X的分布列及数学期望．（7分）
21.(本题满分12分)
设椭圆C： 过点 , 且离心率 ．
(Ⅰ)求椭圆Ｃ的方程；（4分）
(Ⅱ)学生做：过右焦点 的动直线交椭圆于点 ，若以AB为直径的圆经过短轴上端点 ,求直线AB的方程；（8分）
教师做：过右焦点 的动直线交椭圆于点 ，设椭圆的左顶点为 ,连接 且交动直线 于 ;若以MN为直径的圆恒过右焦点F，求 的值.
22.(本题满分12分)
设函数 ， 。
（1）若函数 在 处与直线 相切；
①求实数 的值；（3分）
②求函数 上的最大值;（4分）
（2）学生做：当 时，若不等式 对所有的 都成立，求实数 的取值范围.（5分）
教师做：当 时，若不等式 对所有的 都成立，求实数 的取值范围.
高二下期第一次月考数学参考答案
一、DCABC;BBCCC;CD.
二、
13、 14、2 15、21 16、
三、17.【解析】
18.【解析】
（Ⅰ） 2分
4分
5分
由 得， ( ).， 7分
故 的单调递增区间为 ( ). 8分
（Ⅱ） ,则 9分
10分
又 11分
12分
考点：三角函数的性质
点评：解决的关键是利用二倍角公式将表达式化为单一函数，同时能结合性质来得到结论，属于基础题。
19.【解析】（1） ；（2）
20.【解析】本题考查离散形随机变量及其分布列的求法，期望的求法，考查了等可能事件概率的求法公式，是一道应用概率解决实问题的，此类题型随着高考改革的深入，在高考的试卷上出现的频率越来越高，应加以研究体会此类题的规范解法．
（1）求甲，乙两组各抽取的人数，根据分层的规则计算即可；
（2）“从甲组抽取的工人中恰有1名女工”这个事件表明是从甲组中抽取了一男一女，计算出总抽法的种数与）“从甲组抽取的工人中恰有1名女工”的种数，用古典概率公式即可求解；
（3）令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，则X可取值：0，1，2，3，依次算出每和种情况的概率，列出分布列，据公式求出其期望值即可．
解： （1）
答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名
（2）从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为
（3）X可取值：0，1，2，3
X的分布列为
21.【解析】
(Ⅰ)由题意知 ， ，解得
5分
(Ⅱ)设 ， 与椭圆方程联立得
因为AB为直径的圆过点M(0,1)，所以
老师做：请你仿此自己改一下；设 ，
K存在时，设直线
联立 得
8分
又
同理 10分
解得
当k不存在时， 为等腰
,　由C、B、M三点共线易得到 　
综上 .
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：解决的关键是熟练椭圆的几何性质来得到方程，以及联立方程组的思想，结合韦达定理来得到根与系数的方法，属于基础题。
22.【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）因为 ∵函数 在 处与直线 相切 解得a,b的值。并且 ，求导数的符号与函数单调性的关系得到最值。
（2）学生做：
老师做：因为当b=0时， 若不等式 对所有的 都成立，
则 对所有的 都成立，


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