逍遥学能 2018-09-11 11:56
一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合 , ,则 ( B )
A． B． C． D．
2. 下列函数中既是奇函数，又在 上单调递增的是 （ C ）
A． B． C． D．
3. 给出两个命题:命题 命题“存在 ”的否定是“任意 ”；命题 ：函数 是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )
A. B. C. D.
4.若函数f(x)＝x2－ax－ a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( D )
A．－1 B．1 C．－2 D． 2
5 已知函数 是函数 的导函数，则 的图象大致是( A )
A． B． C． D．
6．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且 的一个充分不必要条件是 ，则a的取值范围是 ( B )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
7．7. 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B )
A．(0，2) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(0，2]
8．若f(x)＝ax，x＞1，4－a2x＋2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( C )
A．(1，＋∞) B．(4，8) C．[4，8) D．(1，8)
9. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当 时，不等式 成立，若a＝30.2 f(30.2)，b＝ (logπ2) f(logπ2)， c＝ f ，则 ， ， 间的大小关系 ( A )
A． B． C． D．
10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f( )＋f( )≤2f(2)，则a的取值范围是( D)
A．(－∞，4] B. (0，4] C. D．
11．(文)已知 是奇函数，则 （ A ）
A..14 B． 12 C． 10 D．-8
11. (理)若函数 的大小关系是 (C )
A． B．
C． D．不确定
12．已知函数y＝f(x)为奇函数，且 对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 （ A ）
①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；
②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；
③函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增；
④当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)．
A．①②④ B．②③ C．①④ D．①②③④
二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）
13.已知实数 满足 则 的最大值__-4_______
14. 已知 ，则函数 在点 处的切线 与坐标轴围成的三角形面积为 .
15. 若函数 ( )满足 且 时， ,函数 ,则函数 在区间 内零点的个数有__12_个.
16. 存在区间 （ ），使得 ，
则称区间 为函数 的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：
① ；② ；③ ； ④
其中存在“ 稳定区间”的函数有②__③_ .（把所有正确的序号都填上）
三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)
17.（本小题满分12分）
设向量 ， ，其中 ， ，函数
的图象在 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为 ，在原点右侧与 轴的第一个交点为 .
（Ⅰ）求函数 的表达式；
（Ⅱ）在 中，角A，B，C的对边分别
别是 ，若 ，
且 ，求边长 ．
解：解：（I）因为 ， -----------------------------1分
由题意 ， -----------------------------3分
将点 代入 ，得 ，
所以 ，又因为 -------------------5分
即函数的表达式为 ． --- ------------------6分
（II）由 ，即
又 ------------------------8分
由 ，知 ，
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------- -----------------12分
18.（文）（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】：
（Ⅰ）6条道路的平均得分为 .-----------------3分
∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分
（Ⅱ）设 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 ”. -----7分
从 条道路中抽取 条的得分组成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件． -----------------9分
事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 个基本事件，
∴ ．
答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 .------12分
18.（理）（本小题满分l 2分）
在2018年全国高校自主招生考试中，某高校设 计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．
(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；
(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．
解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15 ，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15，
∴考生甲正确完成题数的 分布列为
ξ 1 2 3
P 15
35
15
Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2. ………………………………………..4分
又η～B(3，23)，其分布列为P(η＝k)＝Ck3•(23)k•(13)3－k，k＝0，1，2，3；
∴Eη＝np＝3×23＝2. ………………………………………6分
(II)∵Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，
Dη＝npq＝3×23×13＝23， ∴Dξ
从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．………………12分
19（理）在四棱锥 中， 平面 ， 是 的中点，
, , .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
解：（Ⅰ）取 的中点 ,连接 ,
,
则 ∥ .
因为
所以 .………………………………1分
因为 平面 ， 平面
所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分
因为 平面 ,所以 ⊥ ；
又 ∥ ，所以 ；
又因为 , ；
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分
因为 平面 ，所以 …………………… ……6分
（注：也可建系用向量证明）
（Ⅱ）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 , , ， , ,
， .
………………………………………………8分
设平面 的法向量为 ，则 所以
令 .所以 . ……………………9分
由（Ⅰ）知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .
同理 ⊥ .所以 平面
所以平面 的一个法向量 . …………………10分
所以 ， ……………………11分
由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ． ……………………12分
19.(文)在四棱锥 中， 平面 ，
是 的中点， ,
， .
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求证： ．
证明：（Ⅰ）取 的中点 ,连接 , .
则有 ∥ .
因为 平面 ， 平面
所以 ∥平面 ．……………………2分
由题意知 ,
所以 ∥ .
同理 ∥平面 ．…………………4分
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ∥平面 ．
因为 平面
所以 ∥平面 ． ……………………………………………………………6分
（Ⅱ）取 的中点 ,连接 , ,则 ∥ .
因为 ,所以 .………………………………… ……7分
因为 平面 ， 平面 ，所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分
因为 平面 所以 ⊥
又 ∥ ，所以
又因为 ,
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分
因为 平面
所以 ………………………………………………………………12分
20. (本小题满分12分) 已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切．.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆C相交于A、B两点，且 ，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】：
(1)由题意知 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
故椭圆的方程为 4分
(II)设 ，由 得
12分
21．（文）已知函数 ，其中a∈R.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率；
(2)当 时，求函数 的单调区间与极值．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， …6分
由a≠23知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
①若a>23，则－2ax (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. …9分
②若a<23，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值
极小值
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. …12分
21. (理)已知函数 （ ）．
(1) 当 时，证明：在 上， ；
(2)求证： ．
解：(1) 根据题意知，f′(x)＝a1－xx (x>0)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；
当a＝0时，f(x)不是 单调函数．
所以a＝－1时，f( x)＝－ln x＋x－3， 在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)>f(1 )，
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0. …………6分
(2) 由(1)得－ln x＋x－3＋2>0，即－ln x＋x－1> 0，
所以ln x
四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.
（Ⅰ ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED＝12，⊙O的半径为3，求OA的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圆的半径，∴AB是圆的切线． ……4分
(2)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°，∴∠E＋∠EDC＝90°，
又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴BCBE＝BDBC⇒BC2＝BD•BE，
又tan∠CED＝CDEC＝12，△BCD∽△BEC，BDBC＝CDEC＝12，
设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD•BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，
∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5. ……10分
23．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 (t为参数)， ( 为参 数)．
（Ⅰ）化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）过曲线 的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点，求 ．
解：⑴
曲线 为圆心是 ，半径是1的圆．
曲线 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分
⑵曲线 的左顶点为 ，则直线 的参数方程为 （ 为参数）
将其代入曲线 整理可得： ，设 对应参数分别为 ，则
所以 ……………10分
24.（本小题满分10分）选 修4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证： .
解：（Ⅰ）因为 ，所以 等价于 ，…2分
由 有解，得 ，且其解集为 ． …4分
又 的解集为 ，故 ．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，又 ， …7分∴ ≥ =9．9分
(或展开运用基本不等式)
∴ …．10分