逍遥学能 2013-03-02 09:17
2013届高三数学章末综合测试题（2）导数及其应用
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( )
A.19 B.29 C.13 D.23
解析：y′＝x2＋1，当x＝1时，k＝y′x＝1＝2，
∴切线方程为y－43＝2(x－1)．当x＝0时，y＝－23，当y＝0时，x＝13.
∴三角形的面积S＝12×－23×13＝19.
答案：A
2．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为( )
A．(0，＋∞) B.12，＋∞
C．(－∞，－1) D.－∞，－12
解析：由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2. 令y′＞0，即8x－1x2＞0，解得x＞12，
∴函数y＝4x2＋1x在12，＋∞上递增.
答案：B
3．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：据已知可得f′(x)＝sinx＋xcosx，故f′π2＝1.由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a＝2.
答案：D
4．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．4 B．－14
C．2 D．－12
解析：∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
答案：A
5．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a≥3
C．a＜3 D．a≤3
解析：由f(x)＝x3－ax，得f′(x)＝3x2－a，
由3x2－a≥0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立，
3x2≥a，∴a≤3.
若a＜3，则f′(x)＞0对于一 切x∈(－∞，－1]恒成立．
若a＝3，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0恒成立．
x＝－1时，f′(－1)＝0，∴a≤3.
答案：D
6．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是( )
A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)
C．f(2)与f(－2) D．f(－2)与f(2)
解析：由y＝xf′(x)的图像知±2是y＝f′(x)的两个零点，设f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．
当x＞2时，xf′(x)＝ax(x－2)(x＋ 2)＞0，∴a＞0.
由f′(x)＝a(x－2)(x＋2)知，f(－2)是极大值，f(2)是极小值，故选D.
答案：D
7．若函数f(x)＝13x3＋12f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为( )
A.π4 B.π3
C.2π3 D.3π4
解析：由题意，得f′(x)＝x2＋f′(1)x－f′(2)，
令x＝0，得f′(0)＝－f′(2)，
令x＝1，得f′(1)＝1＋f′(1)－f′(2)，
∴f′(2)＝1，∴f′(0)＝－1，
即f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为－1，
∴倾斜角为3π4.
答案：D
8．下图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝ g(x)的图像可能是( )
解析：由y＝f′(x)的图像知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A，C.又由图像知，y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像 在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线斜率相同，故可排 除B.故选D.
答案：D
9．若函数f(x)在R上满足f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝3x－2
C．y＝x＋1 D．y＝－2x＋3
解析：令x＝0，解得f(0)＝1.对f(x)求导，得f′(x)＝ex＋2x－1＋cosx，令x＝0，解得f′(0) ＝1，故切线方程为y＝x＋1.
答案：C
10．如图，函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )
A．在(－2,1)内f(x)是增函数
B．在(1,3)内f(x)是减函数
C．在(4,5)内f(x)是增函数
D．在x＝2时，f(x)取到极小值
解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数f(x)在(1,3)上也不是单调函数，在x＝2的左侧，函数f(x)在－32，2上是增函数．在x＝2的右侧，函数f(x)在(2,4)上是减函数，所以在x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f(x)在这个区间上为增函数.
答案：C
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f (x)的极大值、极小值分别为( )
A.427、0 B．0、427
C．－427、0 D．0、－427
解析：f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，得3－2p－q＝0，1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝13，或x＝1.
从而求得当x＝13时，f(x)取极大值427；当x＝1时，f(x)取极小值0.故选A.
答案：A
12．如右图，若函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由图像知f(1)＝3，f′(1)＝1，故f(1)＋f′(1)＝
3＋1＝4.
答案：D
第Ⅱ卷 (非选择 共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．
解析：设P(a，a2－a＋1)，y′x＝a＝2a－1∈－1，3，
∴0≤a≤2.从而g(a)＝a2－a＋1＝a－122＋34.
当a＝12时，g(a)in＝34；a＝2时，g(a)ax＝3. 故P点纵坐标范围是34，3.
答案：34，3
14．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，
则F′(x)＝1x＋2－2ax－a＝－(2x＋1)(ax－1)x，x∈(0，＋∞)．
当a≤0时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立．
当a＞0时，令F′(x)＝0，得x＝1a，或x＝－12(舍去)．
当0＜x＜1a时，F′(x)＞0；当x＞1a时，F′(x)＜0.故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F1a，由题意F1a≤0恒成立，即ln1a＋1a－1≤0.令φ(a)＝ln1a＋1a－1，则φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln1a＋1a－1≤0成立的充要条件是a≥1.
答案：[1，＋∞)
15．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则a＋b的值为__________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋k(k＞0)，∴f′(x)＝2ax＋b.又f(x)在x＝0处有极值，故f′(0)＝0，从而b＝0.由曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＋1＝ 0垂直，可知该切线斜率为 2，即f′(1)＝2，∴2a＝2，得a＝1.
∴a＋b＝1＋0＝1.
答案：1
16．已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号)
①函数f(x)在区间(－3,1)内单调递减；
②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减；
③当x＝－3时，函数f(x)有极大值；
④当x＝7时，函数f(x)有极小值．
解析：由图像可得，在区间(－3,1)内f(x)的导函数数值大于零，所以f(x)单调递增；在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零，所以f(x)单调递减；在x＝－3左右的导函数符号不变，所以x＝－3不是函数的极大值点；在x＝7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f(x)在x＝7处有极小值．故②④正确．
答案：②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处有极值为10，求b的值；
(2)若对任意a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．
解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
则f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10⇒a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132＞0，故函数有极值点；
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，故函数无极值点；
故b的值为－11.
(2)方法一：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
则F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
∵x≥0，F(a)在a∈[－4，＋∞)上单调递增或为常数函数，
∴得F(a)in＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0对任意的x∈[0,2]恒成立，即b≥(－3x2＋8x)ax，
又－3x2＋8x＝－3x－432＋163≤163，
当x＝43时，(－3x2＋8x)ax＝163，得b≥163，
故b的最小值为163.
方法二：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
即b≥－3x2－2ax对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，即b≥(－3x2－2ax)ax.
令F(x)＝－3x2－2ax＝－3x＋a32＋a23，
①当a≥0时，F(x)ax＝0，于是b≥0；
②当－4≤a＜0时，F(x)ax＝a23，于是b≥a23.
又∵a23ax＝163，∴b≥163.
综上，b的最小值为163.
18．(12分)已知函数f(x)＝x3－12x2＋bx＋c.
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．]
解析：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，
∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．
设g(x)＝x－3x2，当x＝16时，g(x)ax＝112，∴b≥112.
(2)由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.
x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．因f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－23.
∵f(1)＝－32＋c，f(－23)＝2227＋c，f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c，
∴f(x)ax＝f(2)＝2＋c，
∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c ＜－1，
所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝2x－2＋1x2＋1(x∈R)．
(1)当＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当＞0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解析：(1)当＝1时，f(x)＝2xx2＋1，f(2)＝45，
又因为f′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝2－2x2(x2＋1)2，则f′(2)＝－625.
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－45＝－625(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
(2)f′(x)＝2(x2＋1)－2x(2x－2＋1)(x2＋1)2
＝－2(x－)(x＋1)(x2＋1)2.
令f′(x)＝0，得到x1＝－1，x2＝.
∵＞0，∴－1＜.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x－∞，－1
－1
－1，
(，＋∞)
f′(x)－0＋0－
f(x)递减极小值递增极大值递减
从而f(x)在区间－∞，－1，(，＋∞)内为减函数，在区间－1，内为增函数，
故函数f(x)在点x1＝－1处取得极小值f－1，且f－1＝－2，函数f(x)在点x2＝处取得极大值f()，且f()＝1.
20．(12分)已知函数f(x)＝(a－12)x2＋ln x(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝12x2＋lnx，f′(x)＝x＋1x＝x2＋1x.
对于x∈[1，e]有f′(x)＞0，
∴f(x)在区间[1，e]上为增函数，
∴f(x)ax＝f(e)＝1＋e22，f(x)in＝f(1)＝12.
(2)令g(x)＝f(x)－2ax＝(a－12)x2 －2ax＋lnx，
则g(x)的定义域为(0，＋∞)．
在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方等价于g(x)＜0在区间(1，＋∞ )上恒成立．
∵g′(x)＝(2a－1)x－2a＋1x
＝(2a－1)x2－2ax＋1x
＝(x－1)[(2a－1)x－1]x，
①若a＞12，令g′(x)＝0，得极值点x1＝1，x2＝12a－1，
当x2＞x1＝1，即12＜a＜1时，在(x2，＋∞)上有g′(x)＞0，
此时g(x)在区间(x2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2)，＋∞)，不符合题意；
当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上，有g(x)∈(g(1)，＋∞)，也不符合题意；
②若a≤12，则有2a－1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g′(x)＜0，从而g(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
要使g(x)＜0在此区间上恒成立，
只需满足g(1)＝－a－12≤0⇒a≥－12，
由此求得a的取值范围是－12，12.
综上可知，当a∈－12，12时，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方．
21．(12分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)对任意x＞0，试比较f(x)与g(x)的大小．
解析：(1)f(x)＝lnx的图像与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)＝a＋b＝0.①
又f′(x)＝1x，g′(x)＝a－bx2，
且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②
由①②得，a＝12，b＝－12.
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则
F(x)＝lnx－12x－12x＝lnx－12x＋12x，
∴F′(x)＝1x－12－12x2＝－121x－12≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
当0＜x＜1时，F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)；
当x＝1时，F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；
当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，即f(x)＜g(x)．
22．(12分)设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图像关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－23.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)当x∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x1，x2∈[－1,1]，求证：f(x1)－f(x2)≤43.
解析：(1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，
∴对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，
∴－ax3－2bx2－cx＋4d ＝－ax3＋2bx2－cx－4d，
即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，
∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，
∵当x＝1时，f(x)取极小值－23，
∴3a＋c＝0，且a＋c＝－23，
解得a＝13，c＝－1.
(2)当x∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立．
假设图像上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f′(x)＝x2－1知，两点处的切线斜率分别为k1＝x12－1，k2＝x22－1，
且(x12－1)(x22－1)＝－1.(*)
∵x1，x2∈[－1,1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0.
∴(x12－1)(x22－1)≥0.
此与(*)相矛盾，故假设不成立．
(3)f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0，得x＝±1.
当x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在[－1,1]上是减函数，
且f(x)ax＝f(－1)＝23，f(x)in＝f(1)＝－23.
∴在[－1,1]上，f(x)≤23，
于是x1，x2∈[－1,1]时，
f(x1)－f(x2)≤f(x1)＋f(x2)≤23＋23＝43.