逍遥学能 2014-04-13 11:52
贵州省遵义市2013年中考数学试卷
一、（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）
1．（3分）（2013•遵义）如果+30表示向东走30，那么向西走40表示为（ ）
A．+40B．?40C．+30D．?30
考点：正数和负数．
分析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可．
解答：解：如果+30米表示向东走30米，那么向西走40表示?40．
故选B．
点评：此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2．（3分）（2013•遵义）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
考点：由三视图判断几何体
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形，使用排除法来解答．
解答：解：如图，俯视图为三角形，故可排除A、B．主视图以及左视图都是矩形，可排除C，故选D．
点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答．
3．（3分）（2013•遵义）遵义市是国家级红色旅游城市，每年都吸引众多海内外游客前来观光、旅游．据有关部门统计报道：2012年全市共接待游客3354万人次．将3354万用科学记数法表示为（ ）
A．3.354×106B．3.354×107C．3.354×108D．33.54×106
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将3354万用科学记数法表示为：3.354×107．
故选：B．
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2013•遵义）如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ）
A．70°B．80°C．65°D．60°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．
分析：首先根据平行线的性质得出∠1=∠4=140°，进而得出∠5度数，再利用三角形内角和定理以及对顶角性质得出∠3的度数．
解答：解：∵直线l1∥l2，∠1=140°，
∴∠1=∠4=140°，
∴∠5=180°?140°=40°，
∵∠2=70°，
∴∠6=180°?70°?40°=70°，
∵∠3=∠6，
∴∠3的度数是70°．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠5的度数是解题关键．
5．（3分）（2013•遵义）计算（? ab2）3的结果是（ ）
A．? a3b6B．? a3b5C．? a3b5D．? a3b6
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：利用积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案．
解答：解：（? ab2）3=（? ）3•a3（b2）3=? a3b6．
故选D．
点评：此题考查了积的乘方与幂的乘方．注意掌握指数的变化是解此题的关键．
6．（3分）（2013•遵义）如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式；利用轴对称设计图案．
分析：由白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况，
∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是： = ．
故选A．
点评：此题考查了概率公式的应用与轴对称．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2013•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=? x图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：根据正比例函数图象的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小即可求解．
解答：解：∵y=? x，k=? ＜0，
∴y随x的增大而减小．
故选D．
点评：本题考查正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
8．（3分）（2013•遵义）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．a+b＜0B．?a＜?bC．1?2a＞1?2bD．a?b＞0
考点：实数与数轴．
分析：根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：a、b两点在数轴上的位置可知：?2＜a＜?1，b＞2，
∴a+b＞0，?a＞b，故A、B错误；
∵a＜b，
∴?2a＞?2b，
∴1?2a＞1?2b，故C正确；
∵a＜2，b＞2，
∴a?b＜0，故D错误．
故选C．
点评：本题考查的是数轴的特点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．
9．（3分）（2013•遵义）如图，将边长为1c的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）
A． cB．（2+ π）cC． cD．3c
考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．
分析：通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠AC（A）=120°，
点B两次翻动划过的弧长相等，
则点B经过的路径长=2× = π．
故选C．
点评：本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点B运动的路径，注意熟练掌握弧长的计算公式．
10．（3分）（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若=a+b?c，N=4a?2b+c，P=2a?b．则，N，P中，值小于0的数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：．
分析：根据图象得到x=?2时对应的函数值小于0，得到N=4a?2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=?1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b?c的符号．
解答：解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a，b同号，
∴a＜0，b＜0，
∵图象经过y轴正半轴，
∴c＞0，
∴=a+b?c＜0，
当x=?2时，y=4a?2b+c＜0，
∴N=4a?2b+c＜0，
∵? ＞?1，
∴ ＜1，
∴b＞2a，
∴2a?b＜0，
∴P=2a?b＜0，
则，N，P中，值小于0的数有，N，P．
故选：A．
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c的符号是解题关键．
二、题（本题共8小题，每小题4分，共32分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接在答题卡的相应位置上．）
11．（4分）（2013•遵义）计算：20130?2?1= ．
考点：负整数指数幂；零指数幂．
分析：根据任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．
解答：解：20130?2?1，
=1? ，
= ．
故答案为： ．
点评：本题考查了任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，是基础题，熟记两个性质是解题的关键．
12．（4分）（2013•遵义）已知点P（3，?1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1?b），则ab的值为 25 ．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+b=?3，1?b=?1，再解方程可得a、b的值，进而算出ab的值．
解答：解：∵点P（3，?1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1?b），
∴a+b=?3，1?b=?1，
解得：b=2，a=?5，
ab=25，
故答案为：25．
点评：此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．（4分）（2013•遵义）分解因式：x3?x= x（x+1）（x?1） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：本题可先提公因式x，分解成x（x2?1），而x2?1可利用平方差公式分解．
解答：解：x3?x，
=x（x2?1），
=x（x+1）（x?1）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
14．（4分）（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC= 52°
度．
考点：圆周角定理；垂径定理．
分析：由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得： = ，又由圆周角定理，即可求得答案．
解答：解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．
故答案为：52°．
点评：此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（4分）（2013•遵义）已知x=?2是方程x2+x?6=0的一个根，则方程的另一个根是 3 ．
考点：根与系数的关系．
专题：．
分析：根据根与系数的关系得到?2•x1=?6，然后解一次方程即可．
解答：解：设方程另一个根为x1，根据题意得?2•x1=?6，
所以x1=3．
故答案为3．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=? ，x1•x2= ．
16．（4分）（2013•遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6c，BC=8c，则△AEF的周长= 9 c．
考点：三角形中位线定理；矩形的性质．
分析：先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
解答：解：在Rt△ABC中，AC= =10c，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= ，AF= AD= BC=4c，AE= AO= AC= ，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9c．
故答案为：9．
点评：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．
17．（4分）（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 （结果保留根号）．
考点：扇形面积的计算．
分析：若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度．
解答：解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF=S△ABC，即： = ×AC×BC，
又∵AC=BC=1，
∴AF2= ，
∴AF= ．
故答案为 ．
点评：此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根据题意得到△ABC和扇形ADF的面积相等，是解决此题的关键，难度一般．
18．（4分）（2013•遵义）如图，已知直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（?4，?2），C为双曲线y= （k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为 （2，4） ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a， ），然后根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE?S△AOE列出方程求解即可得到a的值，从而得解．
解答：解：∵点B（?4，?2）在双曲线y= 上，
∴ =?2，
∴k=8，
根据中心对称性，点A、B关于原点对称，
所以，A（4，2），
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a， ），
则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE?S△AOE，
= ×8+ ×（2+ ）（4?a）? ×8，
=4+ ?4，
= ，
∵△AOC的面积为6，
∴ =6，
整理得，a2+6a?16=0，
解得a1=2，a2=?8（舍去），
∴ = =4，
∴点C的坐标为（2，4）．
故答案为：（2，4）．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作辅助线并表示出△ABC的面积是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共88分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接在答题卡的相应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或盐酸步骤．）
19．（6分）（2013•遵义）解方程组 ．
考点：解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：由第一个方程得到x=2y+4，然后利用代入消元法其解即可．
解答：解： ，
由①得，x=2y+4③，
③代入②得2（2y+4）+y?3=0，
解得y=?1，
把y=?1代入③得，x=2×（?1）+4=2，
所以，方程组的解是 ．
点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
20．（8分）（2013•遵义）已知实数a满足a2+2a?15=0，求 ? ÷ 的值．
考点：分式的化简求值．
分析：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a2+2a?15=0进行配方，得到一个a+1的值，再把它整体代入即可求出答案．
解答：解： ? ÷ = ? • = ? = ，
∵a2+2a?15=0，
∴（a+1）2=16，
∴原式= = ．
点评：此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值．
21．（8分）（2013•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高B=17米，且点A，B，在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先过点C作CN⊥A于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，则AN=x+（17?1）=x+16（米），则在Rt△AEN中，∠AEN=45°，可得EN=AN=x+16，在Rt△BCN中，∠BCN=37°，B=17，可得tan∠BCN= =0.75，则可得方程： ，解此方程即可求得答案．
解答：解：过点C作CN⊥A于点N，则点C，E，N在同一直线上，
设AB=x米，则AN=x+（17?1）=x+16（米），
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
∴EN=AN=x+16，
在Rt△BCN中，∠BCN=37°，B=17，
∴tan∠BCN= =0.75，
∴ ，
解得：x=1 ≈1.3．
经检验：x=1 是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.3．
点评：此题考查了俯角的定义．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
22．（10分）（2013•遵义）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参与调查的学生及家长共有 400 人；
（2）在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是 135 度．
（3）在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生人数是 62 人；
（4）若全校有1200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生共有多少人？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）根据参加调查的人中，不了解的占5%，人数是16+4=20人，据此即可求解；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数减去其它的情况的人数即可求解；
（4）求得调查的学生总数，则对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”所占的比例即可求得，利用求得的比例乘以1200即可得到．
解答：解：（1）参与调查的学生及家长总人数是：（16+4）÷5%=400（人）；
（2）基本了解的人数是：73+77=150（人），
则对应的圆心角的底数是：360× =135°；
（3）“非常了解”所对应的学生人数是：400?83?77?73?54?31?16?4=62；
（4）调查的学生的总人数是：62+73+54+16=205（人），
对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是62+73=135（人），
则全校有1200名学生中，达到“非常了解”和“基本了解”的学生是：1200× ≈790（人）．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（10分）（2013•遵义）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
分析：（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得： = ，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得： = ，
解得：x=1，
经检验：x=1是原分式方程的解；
∴口袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为： = ；
（3）∵摸到红球得5分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，
∴乙同学已经得了7分，
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为： ．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线N折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线N交BC于点，交AD于点N．
（1）求证：C=CN；
（2）若△CN的面积与△CDN的面积比为3：1，求 的值．
考点：矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
分析：（1）由折叠的性质可得：∠AN=∠CN，由四边形ABCD是矩形，可得∠AN=∠CN，则可证得∠CN=∠CN，继而可得C=CN；
（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得C=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得N的长，继而求得答案．
解答：（1）证明：由折叠的性质可得：∠AN=∠CN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AN=∠CN，
∴∠CN=∠CN，
∴C=CN；
（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴ = = =3，
∴C=3ND=3HC，
∴H=2HC，
设DN=x，则HC=x，H=2x，
∴C=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC= =2 x，
∴HN=2 x，
在Rt△NH中，N= =2 x，
∴ = =2 ．
点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
25．（10分）（2013•遵义）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
分析：（1）设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为（16?x）辆，然后根据装运的粮食和副食品数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据x是正整数设计租车方案；
（2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值；
方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解．
解答：解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16?x）辆，
根据题意得， ，
由①得，x≥5，
由②得，x≤7，
所以，5≤x≤7，
∵x为正整数，
∴x=5或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：组甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：组甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：组甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16?x）辆，设两种货车燃油总费用为y元，
由题意得，y=1500x+1200（16?x），
=300x+19200，
∵300＞0，
∴当x=5时，y有最小值，
y最小=300×5+19200=20700元；
方法二：当x=5时，16?5=11，
5×1500+11×1200=20700元；
当x=6时，16?6=10，
6×1500+10×1200=21000元；
当x=7时，16?7=9，
7×1500+9×1200=21300元；
答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是20700元．
点评：本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键．
26．（12分）（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4c，BC=3c．动点，N从点C同时出发，均以每秒1c的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2c的速度沿BA向终点A移动，连接P，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题．
分析：根据勾股定理求得AB=5c．
（1）分类讨论：△AP∽△ABC和△AP∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC?S△BPH”列出S与t的关系式S= （t? ）2+ （0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
解答：解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4c，BC=3c．
∴根据勾股定理，得 =5c．
（1）以A，P，为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AP∽△ABC时， = ，即 = ，
解得t= ；
②当△AP∽△ABC时， = ，即 = ，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t= 时，以A、P、为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴PH= t，
∴S=S△ABC?S△BPH，
= ×3×4? ×（3?t）• t，
= （t? ）2+ （0＜t＜2.5）．
∵ ＞0，
∴S有最小值．
当t= 时，S最小值= ．
答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 ．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．
27．（14分）（2013•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，? ），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）在以AB为直径的⊙相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
考点：二次函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；
（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；
（3）连接E，根据CE是⊙的切线得到E⊥CE，∠CE=90°，从而证得△COD≌△ED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．
解答：解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x?4）2? （a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0?4）2? =2
解得：a=
∴y= （x?4）2?
即：y= x2? x+2
当y=0时， x2? x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2 ，
∴AP+CP=BC=2
∴AP+CP的最小值为2 ；
（3）如图3，连接E
∵CE是⊙的切线
∴E⊥CE，∠CE=90°
由题意，得OC=E=2，∠ODC=∠DE
∵在△COD与△ED中
∴△COD≌△ED（AAS），
∴OD=DE，DC=D
设OD=x
则CD=D=O?OD=4?x
则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，
∴x2+22=（4?x）2
∴x=
∴D（ ，0）
设直线CE的解析式为y=kx+b
∵直线CE过C（0，2），D（ ，0）两点，
则
解得：
∴直线CE的解析式为y=? +2；
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大．