不等式

第六章 不等式
小 结
学习目标
1. 理解不等式的性质，并能证明；
2. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单地应用；
3. 掌握证明不等式的常用方法，如：比较法、分析法、综合法、反证法等等。
4. 培养我们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
学习过程
一、本章的基本内容
1．不等式的性质
定理1：如果a>b，那么bb；
定理2：如果a>b且b>c，那么a>c．
定理3：如果 ，那么 （加法单调性）反之亦然
推论1：如果 且 ，那么 （相加法则）
推论2：如果 且 ，那么 （相减法则）
定理4：如果 且 , 那么 ；如果 且 那么 （乘法单调性）
推论1 ： 如果 且 ，那么 （相乘法则）
推论1：（补充）如果 且 ，那么 （相除法则）
推论2 如果 , 那么
定理5：如果 ，那么
2．几个重要不等式
定理1： 如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）
定理2：如果a，b是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）
定理3：如果 ，那么 ，（当且仅当 时取“=”）
推论：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）
推广：（均值不等式）： ≥ ，
3．极值定理：已知 都是正数，则
（1） 如果积 是定值 ，那么当 时和 有最小值 ；
（2） 如果和 是定值 ，那么当 时积 有最大值 。
4．掌握证明不等式的常用方法：比较法、分析法、综合法、反证法。
5．掌握几种常见的几类不等式的解法：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、含有绝对值的不等式、指数不等式、对数不等式等等。
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
二、知识整合
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．
2．整式不等 式(主要是一次、二次不等式、可以因式分解的高次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．
4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不 等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，证明时往往联合使用分析法、综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建 立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要恰当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：（1）审题，（2）建立不等式模型，（3）解数学问题，（4）作答。
7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数 、三角函数、数列（包括复数、立体几何、解析几何）等各部分知识中 的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的力．在应用不等式的基本知识、 方法、思想解决问题的过程中，提高我们的数学素质及创新意识．
三、方法技巧
1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解。
2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活用。
3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
四、例题分析
例1.设集合M＝｛（x,y） x＝（y+3）y－1＋y+3，- ｝，若（a，b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？
解析：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)?y-1+(y+3)
在 - 时的最小值.
（1）当 - 时，
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时， = 4．
而 ，因此当y＝ 时，x有最小值 ，
即 .
探索发现：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示
其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式
“x＝（y+3）y－1＋y+3，- ”的所有点中横坐标最小的a的值.

例2．数列 由下列条件确定：
（1）证明：对于 ,
（2）证明：对于 ．
证明：（1） 及 知 ，
从而

（2）当 时，
= 。

例3．解关于 的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
；
；
。

例4．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f (-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解析：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一：(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)
所以f(-2)的取 值范围是[6，10]．
解法二(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
解法三：(数形结合)（这种解法需要学习了线性规划后才适合）k

建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点
A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
探索发现：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b，
8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．

探索发现：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．
例5.城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2009年末的汽车保有量为 ，以后每年末的汽车保有量依次为 ，每年新增汽车 万辆。由题意得


第六章 不等式单元测试
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若a＜b＜0，则（ ）
A． B．0＜ ＜1
C．ab＞b2 D．
2．若a＋c＜b，则（ ）
A．a＜b-c　　 　B．a＞c-b　
　　C．a＞b-c　　　 D．a＜c-b
3．设a= ，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．a＞b＞c　 　B．a＞c＞b　
　C．c＞a＞b　 　D．b＞c＞a
4．设b＜0＜a，d＜c＜0，则下列各不等式中必成立的是（ ）
A．ac＞bd 　　B． 　　
C．a+c＞b+d　　 D．a-c＞b-d
5．下列命题中正确的一个是（ ）
A． 成立当且仅当a，b均为正数
B． 成立当且仅当a，b均为正数
C．logab+logba≥2成立当且仅当a，b∈（1，+∞）
D．a+ ≥2成立当且仅当a≠0
6．函数 的定义域是（ ）
A．x≤1或x≥3　 B．x＜-2或x＞1　
C．x＜-2或x≥3 　D．x<-2或x＞3
7．已知x，y∈R，命题甲：x－1＜5，命题乙：x－1＜5，那么（ ）
A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充要条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
8．已知实数x，y满足x2+y2=1，则代数式（1-xy） （1+xy）有（ ）
A．最小值 和最大值1 B．最小值 和最大值1
C．最小值 和最大值 D．最小值1
9．关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正的实根的充要条件是（ ）
A．a≥0　　　 　　　　　　 B．-1≤a＜0
C．a＞0或-1＜a＜0　 　　D．a≥-1
10．函数y＝ （x＞0）的最小值是（ ）
A． 　 　B．-1+
C．1+ D．-2+
11．若 ，则 等于（ ）
A．4x-5 B．-3
C．3 D．5-4x
12．下列各对不等式中同解的是（ ）
A． 与 　　 　 B． 与
C． 与 　　　 　D． 与
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．关于x的不等式ax 2+bx+2>0的解集是 ，则a+b=_____________。
14．实数x，y>0，且x+2y=4，那么log2x+log2y的最大值是　　　　，此时x=　　，y=　　。
15．方程x2-2x+lg（2a2-a）=0又一正根一负根，则实数a的取值范围是 。
16．建造一个容积8m3，深为2m长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元。
三、解答题（本大题共6题，共74分）
17．（12分）已知a，b>0，且a+b=1，求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy

18．（12分）解关于x的不等式 （a>0且a≠1）

19．（12分）已知x>y>0，且xy=1，若x2+y2≥a（x-y）恒成立，求实数a的取值范围。

20．（12分）解关于x的不等式 。

21．（12分）设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x-4。
（1）求f（x）的解析式；
（2）对于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求证：f（x2）-f（x1）<2x2-x1；
（3）对于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求证：f（x2）-f（x1）≤1

22．（14分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形。要求框架围成的总面积8cm2。问x、y分别为多少（精确0.001m）时用料最省?
参考答案
一、选择题
1．C　2．B　3．B　4．C　5．D　6．D　7．A　8．B　9．D　10．B　11．C　12．B
二、填空题
13．-14 14．1，2，1 15． 16．1760
三、解答题
17．（12分）解：左边= ，
． ，∴左边 。

18．（12分）解：原不等式

，
∴当a>1时，原不等式的解集为： ；
当0
19．（12分）解：设xy=1，∵x>y>0，xy=1∴t>0，∴x2+y2=（x-y）2+2xy=t2+2
原题意 对t>0恒成立
。
20．（12分）解：∵a>0，∴原不等式
①当 ，即0②当 ，即 ，则原不等式的解集为 ；
③当 ，即 ，则原不等式的解集为

21．（12分）解：（1）由题意知f（x+1）=g（1-x）推出f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，f（x）= -（2-x）2+4（2-x）-4= -x2
当0∴
（2）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0∴f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）<2x2-x1
（3）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0≤x12≤1，0≤x22≤1∴-1≤x22-x12≤1即x22-x12≤1
∴f（x2）-f（x1）=x22-x12≤1

22．（14分）解：由题意得xy+ x2=8，∴ 。
于框架用料长度为
当（ + ）x= ，即x=8-4 时等号成立.
此时，x≈2.343，y=2 ≈2.828。
故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省。

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