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高考第一轮复习数学北师(江西版)理第一章集合与常用逻辑用语单元检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个命题与它的逆命题、否命题 、逆否命题这四个命题中( )．
A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
2．已知集合＝{0,1,2}，N＝{xx＝2a，a∈}，则集合∩N等于( )．
A．{0} B．{0,1} C．{1,2} D．{0,2}
3．(福建高 考，理2)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．命题“存在x∈R，x2－3x＋4＞ 0”的否定是( )．
A．存在x∈R，x2－3x＋4＜0 B．任意的x∈R，x2－3x＋4＞0
C．任意的x∈R，x2－3x＋4≥0 D．任意的x∈R，x2－3x＋4≤0
5．集合P＝{aa＝(－1,1)＋(1,2)，∈R}，Q＝{bb＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )．
A．{(1，－2)} B．{(－13，－23)}
C．{(1,2)} D．{(－23，－13)}
6．对任意两个集合，N，定义：－N＝{xx∈且x∉N}，△N＝(－N)∪(N－)，设＝xx－31－x<0，N＝{xy＝2－x}，则△N＝( )．
A．{xx＞3} B．{x1≤x≤2}
C．{x1≤x＜2，或x＞3} D．{x1≤x≤2，或x＞3}
7．已知全集U为实数集R，集合＝xx＋3x－1<0，N＝{xx≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )．
A．[－1,1] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
8．下列判断正确的是( )．
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“任意的x∈N，x3＞x2”的否定是“存在x∈N，x3＜x2”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
9．(陕西
高考，文8)设集合＝{yy＝cos2x－sin2x，x∈R}，N＝xxi<1，i为虚数单位，x∈R，则∩N为( )．
A．(0,1) B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
10．设命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R，命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R，若命题p，q有且仅有一个为真，则c的取值范围为( )．
A． B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．R
二、题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝__________.
12．(浙江温州模拟)已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则 p是 q的__________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)
13．若命题“存在x∈R，x2－ax－a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为__________．
14．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；
⑤“若＞1，则x2－2(＋1)x＋＋3＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上)
15．已知命题p：不等式xx－1＜0的解集为{x0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p且q”为真；③“p或q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是___ _______．(请把正确结论的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)(1)设全集I是实数集，则＝{xx＋3≤0}，N＝ ，求(∁I)∩N.
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x(x＋1)(x－1)＞0}，B＝{x－1≤x＜0}，求A∪(∁UB)．
17．(12分)已知p：－2≤1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－2≤0(＞0)．若“非p”是“非q”的充分而不必要条件，求实数的取值范围．
18．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．(12分)(福建四地六校联合考试)已知集合A＝{xx2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{xx2－2x＋2－4≤0，x∈R，∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数的取值范围．
20．(13分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
21．(14分)已知三个不等式：①2x－4＜5－x；②x＋2x2－3x＋2≥1；③2x2＋x－1＜0.若同时满足①和②的x值也满足③，求的取值范围．
参考答案
一、
1．C 解析：在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命 题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．
2 ．D 解析：集合N＝{0,2,4}，
所以∩N＝{0,2}．
3．A 解析：由(a－1)(a－2)＝0，得a＝1或a＝2，所以a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0.而由(a－1)(a－2)＝0不一定推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．
4．D 解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否定．
5．B 解析：a＝(－1,2＋1)，b＝(2n＋1，3n－2)，令a＝b，
得－1＝2n＋1，2＋1＝3n－2，解得 ＝－12，n＝－7.
此时a＝b＝(－13，－23)，故选B.
6．D 解析：∵＝{xx＞3或x＜1}，N＝{xx≤2}，∴－N＝{xx＞3}，
N－＝{x1≤x≤2}，
∴△N＝{x1≤x≤2，或x＞3}．
7．D 解析：∵＝xx＋3x－1<0＝{x－3＜x＜1}，N＝{xx≤1}＝{x －1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为∩(∁UN)＝{x－3＜x＜－1}，故选D.
8．D 解析：依据各种命题的定义，可以判断A，B，C全为假，由b＝0，可以判断f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，反之亦成立．
9．C 解析：∵y＝
＝cos 2x，x∈R，
∴y∈[0,1]，∴＝[0,1]．
∵xi＜1，∴x＜1.∴－1＜x＜1.
∴N＝(－1,1)．∴∩N＝[0,1)．
10．D 解析：本题考查根据命题 的真假求参数的取值范围．
若函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R，则不等式x2＋2x－c＞0对任意x∈R恒成立，则有Δ＝4＋4c＜0，解得c＜－1；
若函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R，则g(x)＝x2＋2x－c应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c≥0，解得c≥－1.
当p为真，q为假时，有c＜－1；
当p为假，q为真时，有c≥－1.
综上，当命题p，q有且仅有一个为真时，c的取值范围为R.故选D.
二、题
11．{2,5} 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}，
∴(A∪B)∩(∁UC)＝{2,5}．
12．必要不充分 解析： p为：a≥0， q为a2≤a，a2≤a⇔a(a－1)≤0⇔0≤a≤1，
∴ p q，而 q⇒ p，
∴ p是 q的必要不充分条件．
13．[－4,0] 解析：∵“存在x∈R，x2－ax－a＜0”为假命题，则“对任意的x∈R，x2－ax－a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋4a≤0，解得－4≤a≤0.
14．②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式x2－2(＋1)x＋＋3＞0的解集为R，
由>0，Δ＝4(＋1)2－4(＋3)<0⇒>0，>1⇒＞1.故⑤ 正 确．
15．①③ 解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，所以命题q是假命题，
∴①正确，②错误，③正确，④错误．
三、解答题
16．解：(1)＝{xx＋3＝0}＝{－3}，N＝{xx2＝x＋12}＝{－3,4}，
∴(∁I)∩N＝{4}．
(2)∵A＝{xx＜－1，或x＞1}，
B＝{x－1≤x＜0}，
∴∁UB＝{xx＜－1，或x≥0}．
∴A∪(∁UB)＝{xx＜－ 1，或x≥0}．
17．解：由p：－2≤1－x－13≤2，
解得－2≤x≤10，
∴“非p”：A＝{xx＞10，或x＜－2}．
由q：x2－2x＋1－2≤0，
解得1－≤x≤1＋(＞0)．
∴“非q”：B＝{xx＞1＋或x＜1－，＞0}，
由“非p”是“非q”的充分不必要条件得A B.
∴>0，1－≥－2，1＋≤10，解得0＜≤3.
∴满足条件的的取值范围为{0＜≤3}．
18．证明：必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝0，
必要性得证．
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝ ＋3b24≠0，
∴a＋b＝1，
充分性得证．
综上可知，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．解：由已知得：A＝{x－1≤x≤3}，B＝{x－2≤x≤＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴－2＝0，＋2≥3，
∴＝2，≥1.∴＝2，即实数的值为2.
(2)∁RB＝{xx＜－2，或x＞＋2}．
∵A⊆∁ RB，∴－2＞3或＋2＜－1.
∴＞5或＜－3.
∴实数的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
20．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．
用反证法证明：假设a＋b＜0，
则a＜－b，b＜－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，为真命题．
∵原命题⇔它的逆否命题，
∴证明原命题为真命题即可．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
∴逆否命题为真．
21．解：设不等式2x－4＜5－x，x＋2x2－3x＋2≥1，
2x2＋x－1＜0的解集分别为A，B，C，
则由2x－4＜5－x得，
当x≥2时，不等式化为 2x－4＜5－x，得x＜3，所以有2≤x＜3.
当x＜2时，不等式化为4－2x＜5－x，
得x＞－1，所以有－1＜x＜2，
故A＝(－1,3)．
x＋2x2－3x＋2≥1⇔x＋2x2－3x＋2－1≥0⇔－x2＋4xx2－3x＋2≥0⇔x(x－4)(x－1)(x－2)≤0⇔0≤x＜1或2＜x≤4，
即B＝[0,1)∪(2,4]．
若同时满足①②的x值也满足③，则有A∩B⊆C.
设f(x)＝2x2＋x－1，则由于A∩B＝[0,1)∪(2,3)，
故结合二次函数的图像，得f(0)<0，f(3)≤0⇒－1<0，18＋3－1≤0⇒≤－173. 文
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