2013年高考数学理科押题试卷（附答案）

数学（理）试题
本试题卷分第1卷（）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={ }，下图中 阴影部分所表示的集合为
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{1}C．{ 0，1}
2．复数 ，在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限C．第二象限 D．第四象限
3．若 ，则tan =
A ． B． C． D．
4．已知命题 使得 命题 ，下列命题为真的是
A．p q B．（ C． D．
5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A． B． C． D．
6．已知△ABC中，C=45°，则sin2A=sin2B一 sinAsinB=
A． B． C． D．
7．如图是计算函数 的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是
A．y=ln（一x），y=0，y=2x
B．y=0，y=2x，y=In（一x）
C．y=ln（一x），y=2z，y=0
D．y=0，y=ln（一x），y=2x
8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足
（a-c）?（b一c）=0，则c的最大值是
A．1 B．
C．2D．
9．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为
A．16 B．24 C．32 D．48
10．在二项式（ 的展开式中，各项系数之 和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为
A．18 B．12 C．9 D．6
11．已知函数 ，如果存在实数x1， 使得对任意的实数x，都有 成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
12．过双曲线 的右顶点A作斜率为 一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22～24题为选考题，考生根据要求做答。
二、 题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数 的最大值是 。
14．已知圆 过坐标原点，则圆心C到直线 距离的最小值等于 ．
15．已知 函数 上的奇函数，且 的图象关于直线x=1对称，当 时， ．
16．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则
点M恰好取自阴影部分的概率是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知数列{ }中
（I）设 ，求证数列{ }是等比数列；
（Ⅱ）求数列{ }的通项公式．
1 8．（本小题满分12分）
某校从参加某次知识竞赛的 同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息， 回答下列问题．
(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；
(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，记[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图。在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中点。
（I）求证：A1B∥平面AMC1；
（II）求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问：在棱A1B1上是否存在点N，使AN与MC1成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为 左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4 ，点M是椭圆C上一点，满足
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2， ，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求 的解析式及减区间；
（2）若 的最小值。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
在 ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心。
（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；
（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．
23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数 ）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
（I）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P 的坐标为（1,2）,求 的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4?5：不等式选讲
设函数 =
（I）求函数 的最小值m；
（II）若不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号12 3456789101112
答案CCDA ABBDDCBC
二、题（每小题5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）递推公式可化为 ，即 . …………3分
又 ，
所以数列 是首项为3，公比为 的等比数列. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，所以 ……………7分
……………12分
（18）解：（Ⅰ）设分数在 内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有 ，可得x=0.3.
所以频率分布直方图如图所示：
……………4分
（Ⅱ）平均 分为：
………………6分
（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，
且X的可能取值是0，1，2．
则 ， ， ．
所以X的分布列为：
X012
P
所以EX＝0× ＋1× ＋2× ＝ ． ……………12分
（19）解：（Ⅰ）连接 交 于 ,连接 .在三角形 中，
是三角形 的中位线，
所以 ∥ ,
又因 平面 ，
所以 ∥平面 . ……………4分
（Ⅱ）（法一）设直线 与平面 所成角为 ，
点到平面 的距离为 ，不妨设 ，则 ，
因为 , ，
所以 . ……………5分
因为 ，
所以 , .
.
，
， . ……………8分
（法二）如图以 所在的直线为 轴, 以 所在
的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴，
以 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.
则 , , , ， , , .设直线 与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 .则有 , , ，
令 ,得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 . ……………8分
（Ⅲ）假设直线 上存在 点 ，使 与 成角为 .
设 ，则 ， .
设其夹角为 ，
所以，
，
， 或 （舍去），
故 .所以在棱 上存在棱 的中点 ，使 与 成角 . 12分
（20）解：（Ⅰ）在 中,设 , ,由余弦定理得 ，
即 ，即 ，得 .
又因为 ， ， ，
又因为 所以 ，
所以所求椭圆的方程为 . ……………5分
（Ⅱ）显然直线 的斜率 存在，设直线方程为 ， ，
由 得 ，即 ，
， ，
由 得， ，又 ， ，
则 ， ，
，
那么 ，
则直线 过定点 . ……………10分
因为 ， ，
， ，
， ，
，所以 或 . ……………12分
（21）解：（Ⅰ）令 得 ， ，所以 ，
， ……………3分
，
由 得 ， 的减区间为（ ）. ……5分
（Ⅱ）由题意 ，
，
设 ， . ………… …7分
当 时， 恒成立， 无最大值；
当 时，由 得 ， 得 .
在 上为增函数，在 上为减函数.
， ，
， ……………10分
设 ， ，
由 得 ， 得 ，
，所以 的最小值为 . ……………12分
（22）证明：（Ⅰ） 如图，∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．
因此∠A是锐角，
从而 的外心与顶点A在DF的同侧，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．
因此D，E，F，O四点共圆． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO =∠FEO，
即O在∠DEF的平分线上． ……………10分
（23）解:（Ⅰ）由 得 ，化为直角坐标方程为 ，
即 . ……………4分
（Ⅱ）将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 .
由 ，故可设 是上述方程的两根，
所以 又直线 过点 ，故结合t的几何意义得
=
所以 的最小值为 ……………10分
（24）解：（Ⅰ）
显然，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值 ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 恒成立，
由于 ，
等号当且仅当 时成立，故 ，解之得 或


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