常见的对数函数解题方法

一、分类讨论
例1 若实数 满足 ，求 的取值范围。
分析：需对 进行分类讨论。
当 时，∵ ，∴ ，∴ ；
当 时，∵ ，∴ ，即 。
故 。
评注：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。理解会用以下几个结论很有必要：①当 时，若 ，则 ，若 ，则 ；②当 时，若 ，则 ，若 ，则 。
二、数形结合
例2 若 满足 ，则 满足区间（ ）
．（0，1） ．（1，2） ．（1，3） ．（3，4）
分析：本题左边是一个对数函数，右边是一个一次函数，可通过作图象求解。
解析：在同一直角坐标系中画出 ， 的图象，如图所示，可观察两图象交点的横坐标满足 ，答案选 。

评注：解决该类问题的关键是正确作出函数 ， 的图象，从而观察交点的横坐标的取值范围。
三、特殊值法
例3 已知 在 上为 的减函数，则 的取值范围为（ ）
． ． ． ．
分析：由函数的单调性求底数 的取值范围，逆向考查，难度较大，可采用特殊值法进行判断。
解析：取特殊值 ， ， ，则有 ， ，与 是 的减函数矛盾，排除 和 ；
取特殊值 ， ，则 ，所以 ，排除 。
答案选 。
评注：本题由常规的具体函数判断其单调性，变换为已知函数的单调性反过来确定函数中底数 的范围，提高了思维层次。
四、合理换元
例4 若 ，求函数 的值域。
分析：通过对函数式进行变形，此题是一个二次函数求值域问题，可换元进行求解。
解析：设 ，∵ ，∴ ，即 。
又 ，
∴ ，∵ ，
∴当 时， 最小值为4；当 或 时， 值相等且最大， 最大为 。
故函数 的值域为 。

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