如何突破数学命题难点

一、定位整体

　　

　　新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为:“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思想.在本模块中，同学们将在义务教育的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流.”因此，学习逻辑用语，不仅要了解数理逻辑的有关知识，还要体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁.

　　

　　二、明确重点

　　

　　“常用逻辑用语”分成三大节，分别为：命题及其关系，简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词.

　　

　　“命题及其关系”分两小节：一、“四种命题”，此节重点在于四种命题形式及其关系，互为逆否命题的等价性；二、“充分条件和必要条件”，此节重点在于充分条件、必要条件、充要条件的准确理解以及正确判断.

　　

　　“简单的逻辑联结词”重点在于“且”、“或”、“非”这三个逻辑联结词的理解和应用.

　　

　　“全称量词与存在量词”重点在于理解全称量词与存在量词的意义，以及正确做出含有一个量词的命题的否定.

　　

　　三、突破难点

　　

　　1.“四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假

　　

　　例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

　　

　　（1）全等三角形的面积相等；

　　

　　（2）m＞时，方程mx2-x+1=0无实根；

　　

　　（3）若sinα≠，则α≠30°.

　　

　　解析（1）条件为两个三角形全等，结论为它们的面积相等.因此，原命题即为“若两个三角形全等，则它们的面积相等”，逆命题为“若两个三角形面积相等，则它们全等”，否命题为“若两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，逆否命题为“若两个三角形面积不相等，则它们不全等”.根据平面几何知识，易得原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.

　　

　　（2）原命题即为“若m＞，则方程mx2-x+1=0无实根”，逆命题为“若方程mx2-x+1=0无实根，则m＞”，否命题为“若m≤，则方程mx2-x+1=0有实根”，逆否命题为“若方程mx2-x+1=0有实根，则m≤”.根据判别式Δ=1-4m的正负可知，原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.

　　

　　（3）原命题即为“若sinα≠，则α≠30°”，逆命题为“若α≠30°，则sinα≠”，否命题为“若sinα=，则α=30°”，逆否命题为“若α=30°，则sinα=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难，但考虑到原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此可以先考虑逆否命题和否命题；由三角函数的知识，可知原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.

　　

　　突破对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性.

　　

　　2.“充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断

　　

　　例2在下列命题中，判断p是q的什么条件.（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）

　　

　　（1）p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有实根.

　　

　　（2）p：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　　

　　（3）设集合M=x＞2，N=x＜3，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N.

　　

　　解析（1）当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“若p则q”为假命题；当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“若q则p”为真命题.故p是q的必要不充分条件.

　　

　　（2）若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，则圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，化简可得c2=（a2+b2）r2，因此“若p则q”为真命题；反过来，由c2=（a2+b2）r2，可得r=，即圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，由解析几何知识得圆与直线相切，因此“若q则p”为真命题.故p是q的充要条件.

　　

　　（3）M∩N=（2，3），M∪N=R，若x∈（2，3），此时显然有x∈R，因此“若p则q”为真命题；反过来，若x∈R，例如x=5，此时x?埸（2，3），因此“若q则p”为假命题.故p是q的充分不必要条件.

　　

　　突破①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若“若p则q”为真命题，则p是q的充分条件；若“若q则p”为真命题，则p是q的必要条件；若两者都是真命题，则p是q的充要条件；若两者都是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件.②从集合的观点理解：建立命题p，q相应的集合.p：A=p（x）成立，q：B=x.那么:若A?哿B，则p是q的充分条件；若B?哿A，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.若A?芫B且B?芫A，则p是q的既不充分也不必要条件.

　　

　　例3已知数列an的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证:数列an为等比数列的充要条件为q=-1.

　　

　　解析充分性:当q=-1时，a1=p-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）.于是当n≥1时，=p，即数列an为等比数列.

　　

　　必要性：当n=1时，a1=S1=p+q；当n≥2时，an=Sn-Sn-1

　　

　　=pn-1（p-1）.因为p≠0且p≠1，于是=p.又因为数列an为等比数列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

　　

　　综上所述，q=-1为数列an为等比数列的充要条件.

　　

　　突破证明p是q的充要条件需要分两步：①充分性，把p作为已知条件，结合命题的前提条件，推出q；②必要性，把q作为已知条件，结合命题的前提条件，推出p.最后综上所述，可得p是q的充要条件.特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立，而不管它对结论成立是否必要；必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少，而不管它对结论成立是否充分.因此，在进行恒等变形或探求充要条件的过程中，只注意推导过程的充分性，其结果有可能缩小范围；只注意推导过程的必要性，其结果有可能扩大范围.

　　

　　3.“简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分

　　

　　例4指出下列命题的真假.

　　

　　（1）-1是奇数或偶数；

　　

　　（2）属于集合Q，也属于集合R；

　　

　　（3）A?埭（A∪B）.

　　

　　解析（1）此命题为“p或q”的形式，其中p：-1是奇数；q：-1是偶数.因为p为真命题，所以原命题为真命题.

　　

　　（2）此命题为“p且q”的形式，其中p：属于集合Q；q：属于集合R.因为只有q为真命题，所以原命题为假命题.

　　

　　（3）此命题为“非p”的形式，其中p：A?哿（A∪B）.因为p为真命题，所以原命题为假命题.

　　

　　突破判断如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假时，首先要确定命题的构成形式，然后判断其中各简单命题的真假，最后再利用真值表判断复合命题的真假.

　　

　　例5写出下列各命题的否定和否命题.

　　

　　（1）若x+y是偶数，则x，y都是奇数；

　　

　　（2）若xy=0，则x=0或y=0.

　　

　　解析（1）命题的否定：若x+y是偶数，则x，y不都是奇数；否命题：若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数.

　　

　　（2）命题的否定:若xy=0，则x≠0且y≠0；否命题:若xy≠0，则x≠0且y≠0.

　　

　　突破命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设，又否定结论.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”；“x，y都是奇数”的否定是“x，y不都是奇数”而不是“x，y都不是奇数”.

　　

　　4.“全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假性判断以及含有一个量词的命题的否定

　　

　　例6判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，并判断真假.

　　

　　（1）有一个实数α，tanα无意义；

　　

　　（2）任何一条直线都有斜率；

　　

　　（3）?埚x＜0，使x2+x+5＜0；

　　

　　（4）自然数的平方是正数.

　　

　　解析（1）存在性命题，当α=时，tanα无意义，因此原命题为真命题.

　　

　　（2）全称命题，当倾斜角为时，该直线斜率不存在，因此原命题为假命题.

　　

　　（3）存在性命题，由判别式可知Δ=1-4×5=-19＜0，所以对?坌x∈R，x2+x+5＞0，因此原命题为假命题.

　　

　　（4）全称命题，存在自然数0，其平方不是正数，因此原命题为假命题.

　　

　　突破①要判定全称命题“?坌x∈M，p（x）”为真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立；如果集合M中找到一个元素x0，使得p（x）不成立，那么这个全称命题为假命题.②要判定存在性命题“?埚x0∈M，p（x）”为真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题.

　　

　　例7写出下列命题的否定.

　　

　　（1）面积相等的三角形是全等三角形；

　　

　　（2）有些质数是奇数；

　　

　　（3）对?坌x∈R，x2+x+1=0都成立；

　　

　　（4）?埚x∈R，x2+2x+5＞0.

　　

　　解析（1）原命题是全称命题，故其否定为:存在面积相等的三角形不是全等三角形.

　　

　　（2）原命题是存在性命题，故其否定为:所有的质数都不是奇数.

　　

　　（3）原命题是全称命题，故其否定为:?埚x∈R，使x2+x+1≠0.

　　

　　（4）原命题是存在性命题，故其否定为:对?坌x∈R，x2+2x+5≤0都成立.

　　

　　突破全称命题与存在性命题的区别在于构成两种命题的量词不同.实质上，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，因此在书写全称命题与存在性命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手书写命题的否定.全称命题的否定是存在性命题，而存在性命题的否定是全称命题.

　　

　　1.（安徽理科卷）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是______________.

　　

　　2.（山东文科卷）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是________.

　　

　　3.（湖南文科卷）“x＞1”是“|x|＞1”的

　　

　　__________条件.

　　

　　4.（福建理科卷）若a∈R，则“a=2”是“（a-1）（a-2）=0”的______________条件.

　　

　　5.（浙江理科卷）“α=”是“cos2α=”的______________条件.

　　

　　6.（山东理科卷）对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图像关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的____________条件.

　　

　　7.（浙江文科卷）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的______________条件.

　　

　　8.（四川文科卷）设函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称f（x）为单函数.例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数.

　　

　　给出下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②指数函数f（x）=2x（x∈R）是单函数；③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是________.（写出所有真命题的编号）

　　

　　1.存在一个能被2整除的数不是偶数.2.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3.3.充分而不必要.4.充分而不必要.5.充分而不必要.6.必要而不充分.7.既不充分也不必要.8.②③④.（来源：转载）
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