一元二次不等式的解法

3.2.1一元二次不等式的解法
【目标】
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式（a＞0）的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84“刹车距”问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到“一元二次不等式”模型。
2.讲授新课
1）一元二次不等式的定义：
形如 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次不等式 。
2）探究一元二次不等式 …… （1） 的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数 的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即 ；
当0所以，不等式 的解集是 ，从而解决了本节开始时提出的问题。

上面的例子说明，二次函数的图像的形状及其与x轴的交点坐标，可以确定对应的一元二次不等式的解集。

3）探究一般的一元二次不等式的解法：

【例1】课本85页例1.
【例2】 课本85页例2.
【例3】 课本86页例3.

一般地，怎样确定一元二次不等式 >0与 <0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线 与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 =0的根的情况
(2)抛物线 的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
抛物线 （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式 三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.
一元二次不等式 的解集：
设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)





二次函数

（ ）的图象




一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根



[范例讲解]
例4、解下列不等式
(1) x2－7x+12>0 (2) x2－2x+1<0 (3) x2－2x+2<0
答案：（１） （2） （3）
点评:不等式的解与方程的根是密切相关的．
3.随堂练习
课本第89的练习1第1题。
4.课时小结
5. 课后作业：课本87页练习1第2、3题。
【板书设计】

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