教案 不等式的性质
一、明确目标
掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题
二.建构网络
1.比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a
; ; .
以此可以比较两个数(式)的大小，——作差比较法.
或作商比较：a>0时, ;a<0时, .
2.不等式的性质：
(1)对称性: ，
证明：(比较法)
(2)传递性: ，
(3)可加性: .
移项法则:
推论：同向不等式可加.
(4)可乘性: ，
推论1：同向(正)可乘:
证明：(综合法)
推论2：可乘方(正):
(5) 可开方(正):
证明：(反证法)
不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强
三、双基题目练练手
1.(2006春上海) 若 ，则下列不等式成立的是( )
A.¬ . B. . C. . D. .
2.(2004北京)已知a、b、c满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
3. 对于实数，下命题正确的是 ( )
A.若a
C.若 ,则 . D.若a>b>0,d>c>0,则
4.(2004春北京)已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0， - >0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(2004辽宁)对于 ，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是_________
6.a>b>0，m>0，n>0，则 ， ， ， 的由大到小的顺序是____________.
练习简答:1-4.CCCD; 5. ②与④; 6.特殊值法,答案： > > >
四、经典例题做一做
【例1】已知a<2，
求c的取值范围.?
解：∵b≤2a
∴c=b-2a≤0,
∴ b-4> -2a= .
∴c的取值范围是：
【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(-2)的取值范围
解：由已知1≤a-b≤2, ①, 2≤a+b≤4 ②
若将f(-2)=4a-2b用a-b与a+b,表示，则问题得解
设4a-2b=m(a-b)+n(a+b), (m,n为待定系数)
即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
于是得 得：m=3, n=1
由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10
即5≤f(-2)≤10,
另法：由 得
∴f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1)……
◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a-2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释.
【例3】(1)设A=xn+x-n，B=xn-1+x1-n，当x∈R+，n∈N时， 比较A与B的大小.
(2)设00且a≠ ，试比较log3a(1-x)3与log3a(1+x)3的大小.
解: (1)A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)
=x-n(x2n+1-x2n-1-x)
=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]
=x-n(x-1)(x2n-1-1).
由x∈R+，x-n>0，得
当x≥1时，x-1≥0，x2n-1-1≥0;
当x<1时，x-1<0
高中学习方法，x2n-1<0，即
x-1与x2n-1-1同号.∴A-B≥0.∴A≥B.
(2)∵0
①当3a>1，即a> 时，
log3a(1-x)3-log3a(1+x)3
=3log3a(1-x)-3log3a(1+x)
=3[-log3a(1-x)-log3a(1+x)]
=-3log3a(1-x2).
∵0<1-x2<1，∴-3log3a(1-x2)>0.
②当0<3a<1，即0
log3a(1-x)3-log3a(1+x)3
=3[log3a(1-x)+log3a(1+x)]
=3log3a(1-x2)>0.
综上所述，log3a(1-x)3>log3a(1+x)3.
◆提炼：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号.
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