逍遥学能 2014-01-05 14:15
1. 数形结合思想
体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。
例1. 从小到大的顺序是___________。
解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，若注意到 相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。
设 （如图所示）
可知 应填
的定义域是____________。
解析：该函数定义域即不等式组 的解集，即 的解集，若用传统则要求 的交集，不太方便。
若画出 的图象（如图所示）
由 ，易得
2. 转化与化归思想
体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。
例3. 若 B. D. 的大小比较就容易多了。
因为
又因为 ，所以 的值域。
解析：先切割化弦，统一函数名称，得：
令
于是求原函数的值域转化为求函数 的值域，易得 ，所以原函数的值域为 。
3. 函数与方程思想的应用
体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方程的思想解决求值、证明等问题。
例5. 已知函数
分离a得：
问题转化为求a的值域。
因为
所以
故当 时， 有实数解。
例6. 已知 ，求 的值。
解法1：只需求α的某个三角函数或α的值，又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程。
由倍角公式，原方程化为：
由
解法2：可以将原方程配方转化得：
即
因为
则
所以只有
解得 ，求 的值。
解析：由已知条件得：
即
因为
所以
所以 即求 的符号要展开讨论：
（1）当
所以 ；
（2）当
所以 ；
综上
5. 分析与综合的思想
体现在三角函数中是把多边形分割为三角形，把求某值转化为求另外的值等，然后依据分析结果，综合写出求解过程。
例8. 设 的取值范围是_____________。
解析：运用分析与综合的思想方法，先分析x的取值范围，再综合求
则
即
所以填 。而两个三角形的两边已知，只须求得已知两边的夹角 的正弦值，又 ，只需求得其中一个角 的正弦值或余弦值，解题从求余弦值开始，连结BD，在△ABD中，由余弦定理，得：
在△CBD中，同理得：
所以
化简得
又因为
所以
且
则
6. 整体思想的应用
体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。
例10. 已知
<0" >
（1）求<1" > 的值；
（2）求的值。
解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求值。
（1）由平方，得：
即
因为
又因为
所以
故
（2）