函数

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第二章小结与复习
（一）目标
1.知识与技能
掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.
2.过程与方法
归纳、总结、提高.
3.情感、态度、价值观
培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.
（二）重点、难点
重点：指数函数、对数函数的性质的运用.
难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.
（三）教学方法
讲授法、讨论法.
（四）教学过程

教学
环节教学内容师生互动设计意图
复习
引入（多媒体投影）
1.本章知识结构

2.方法总结

学生总结，老师完善.
师：请同学们总结本章知识结构.
生：（1）指数式和对数式：①整数指数幂；②方根和根式的概念；③分数指数幂；④有理指数幂的运算性质；⑤无理数指数幂；⑥对数概念；⑦对数的运算性质；⑧指数式与对数式的互化关系.
（2）指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的定义域、值域；③指数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1，0＜a＜1两种情况）；④不同底的指数函数图象的比较；⑤指数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用.
（3）对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的定义域、值域；③对数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1和0＜a＜1两种情况）；④不同底的对数函数图象的比较；
⑤对数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用；⑦反函数的有关知识.
（4）幂函数：①幂函数的概念；②幂函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；③幂函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）；④幂函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；⑥图象和性质的应用.

师：请同学们归纳本章解题方法.
生：（1）函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
（2）函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤函数的单调性法.
（3）单调性的判定法：①设x1、x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1＜x2；②判定f（x1）与f（x2）的大小；③作差比较或作商比较.
（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）
（4）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象.
（5）常用函数的研究、总结与推广：
①研究函数y= （ax±a－x）（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、反函数；
②研究函数y=loga（ ±x）（a＞0，且a≠1）的定义域、单调性、反函数.
（6）抽象函数〔即不给出f（x）的解析式，只知道f（x）具备的条件〕的研究.
①若f（a+x）=f（a－x），则f（x）关于直线x=a对称.
②若对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）可与指数函数类比.
③若对任意的x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），则f（x）可与对数函数类比.

对本章知识、方法形成体系.

应用
举例例1 设a＞0，x= （a －a ），
求（x+ ）n的值.

例2 已知函数f（x）= （m＞0，且m≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数f（x）的单调性.

【例3】 己知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）=f 2（x）+f（x2）的最大值和最小值.
【例4】 求函数y=loga（x－x2）（a＞0，a≠1）的定义域、值域、单调区间.


【例5】 设x≥0，y≥0，且x+2y=1，求函数y=log （8xy+4y2+1）的值域.

例6 函数f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］.
（1）若f（x）的定义域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围.



例1解：1+x2=1+ （a －2+a ）
= （a ）+2+a ）
=［ （a +a ）］2.
∵a＞0，∴a ＞0，a ＞0.
∴a +a ＞0.
∴x+ =x+ （a +a ）= （a －a ）+ （a +a ）=a .
∴（x+ ）n=a.
小结：本题考查了分数指数幂的运算性质，技巧是把根号大的式子化成完全平方的形式.
例2解：（1）∵mx＞0，mx+1≠0恒成立，
∴函数的定义域为R.
∵y= ，∴mx= ＞0.
∴－1＜y＜1.
∴函数f（x）的值域为（－1，1）.
（2）∵函数的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（－x）= =
=－f（x），
∴函数f（x）是奇函数.
（3）任取x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）= － = .
∵m +1＞0，m +1＞0，
∴当m＞1时，m －m ＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
当0＜m＜1时，m －m ＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
综上，当m＞1时，函数f（x）为增函数；
当0＜m＜1时，函数f（x）为减函数.
小结：求值域用了反表示法，函数表达式中有指数式mx，它具有大于0的范围，注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论.

例3解：∵f（x）的定义域为
［1，4］，
∴g（x）的定义域为［1，2］.
∵g（x）=f 2（x）+f（x2）=（1+log2x）2+（1+log2x2）=（log2x+2）2－2，
又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，
∴当x=1时，g（x）min=2；
当x=2时，g（x）max=7.
小结：这是一道易错题，首先要考虑定义域是本题防错的关键.其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯.

例4解：（1）定义域：由x－x2＞0，得0＜x＜1，
∴定义域为（0，1）.
（2）∵0＜x－x2=－（x－ ）2+ ≤ ，
∴当0＜a＜1时，
loga（x－x2）≥loga ，
函数的值域为［loga ，+∞）；
当a＞1时，loga（x－x2）≤loga ，函数的值域为（－∞，loga ］.
（3）令u=x－x2，在区间（0，1）内，u=x－x2在（0， ］上递增，在［ ，1）上递减.
∴当0＜a＜1时，函数在（0， ］上是减函数，在［ ，1）上是增函数；
当a＞1时，函数在（0， ］上是增函数，在［ ，1）上是减函数.
小结：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题讨论的分界线是对数的底.

例5解：∵x+2y=1，
∴x=1－2y≥0.
又y≥0，∴0≤y≤ .
∴8xy+4y2+1=8（1－2y）y+4y2+1=－12y2+8y+1.
∵0≤y≤ ，∴1≤－12y2+8y+1=－12（y－ ）2+ ≤ .
∴log ≤log （8xy+4y2+1）≤log 1=0.
∴函数的值域为［log ，0］.
小结：本题的易错点是代换时没有注意到通过x求出y的范围.所以我们在代换时要注意等价代换，即考虑到字母的取值范围.

例6解：（1）∵f（x）的定义域为（－∞，+∞），
∴（a2－1）x2+（a+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立.
当a2－1≠0时，

即
∴a＜－1或a＞ .
当a2－1=0时，若a=－1，则f（x）=0，定义域也是（－∞，+∞）；
若a=1，则f（x）=lg（2x+1），定义域不是（－∞，+∞）.
故所求a的取值范围是（－∞，－1］∪（ ，+∞）.
（2）∵f（x）的值域为（－∞，+∞），
∴只要t=（a2－1）x2+（a+1）x+1能取到（0，+∞）内的任何一个值.
∴
即
∴1＜a≤ .
又当a2－1=0时，若a=1，则f（x）=lg（2x+1），其值域也是（－∞，+∞）；
若a=－1，则f（x）=0，不合题意.
∴所求a的取值范围是［1， ］.
小结：本题考查了换元转化思想和分类讨论思想，理解对数函数概念，特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键.特别是（2）中，f（x）的值域是R的含义是真数部分即t=（a－1）x2+（a+1）x+1在x取值时需取满足（0，+∞）的每一个值，否则f（x）的值域就不是R，这就要求t关于x的二次函数不能有比零大的最小值.因此Δ≥0，这时要注意f（x）的定义域不是R的集合了，而是（－∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2分别为相应二次方程的小根、大根.
进一步掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质等知识.
培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.

归纳
总结1.我们从正整数指数幂出发，经过推广得到了有理数指数幂，又由“有理数逼近无理数”的思想，认识了实数指数幂.这个过程体现了数学概念推广的基本思想.有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数幂的运算性质，我们推出了对数运算性质.
2.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.本章学习的三种不同类型的函数模型，刻画了客观世界中三类具有不同变化规律，因而具有不同对应关系的变化现象.指数函数、对数函数和幂函数是描述客观世界中许多事物发展变化的三类重要的函数模型，这三类函数的图象和性质是我们解决相关问题的重要工具.
3.研究函数时，函数图象的作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助.
学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.
课后
作业作业：小结与复习 习案学生独立完成巩固新知
提升能力
备选例题
例1 已知f (x) = lgx，则y = f (1 ? x)的图象是下图中的（ A ）

【解析】方法一：y = f (1 ? x) = lg(1 ? x)，显然x≠1，故排除B、D；又因为当x = 0时，y = 0，故排除C.
方法二：从图象变换得结果：
y = lg(?x)

y = lg[? (x?1)] y = lg(1 ? x).
【小结】（1）y = lgx变成y = lg (1 ? x)过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解.
（2）解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键.
例2 设a＞0，a≠1，t＞0，比较 与 的大小，并证明你的结论.
【解析】∵t＞0，∴可比较 与 的大小，
即比较 与 的大小.
∵当t = 1时， ，∴ .
当t≠1时，
∵ = ＞0，
∴t + 1＞ ，∴ ＞ .
∴当0＜a＜1时， ＞ ，
即 ＞ .
当a＞1时， ＜ ，
即 ＜ .
综上知：当t = 1时， ；
当t＞0且t≠1时，若0＜a＜1，
有 ＞ ；
若a＞1，则有 ＜ .
【小结】解决此类比较大小的题目，要注意结合函数的单调性，作差比较一定要判断差值与0的大小，从而作出大小的比较，注意分类讨论的思想应用，本题中的t +1和 的比较. 可由t + 1 ? 2 ≥0，所以t + 1≥ (t=1时取等号)，从而得出0＜ ≤1和 ≥ .


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