抛物线的简单几何性质

j.Co M
2.3.2抛物线的简单几何性质
（一）目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .
（二）重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）教学难点：抛物线几何性质的运用
（四）教学过程：
一、复习引入：（学生回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线.
图形

方程

焦点


准线

2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 .
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为 、左端为 ；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为 ，左端为 . （2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
因为p＞0，由方程 可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）
标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率



注意强调 的几何意义：是焦点到准线的距离.
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为 ，因为它过点 ，
所以 ，即
因此，所求的抛物线方程为 ．
将已知方程变形为 ，根据 计算抛物线在 的范围内几个点的坐标，得
x01234…
y022.83.54…
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=?1.
由题可知，直线AB的方程为y=x?1
代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2?6x+1=0
解上述方程得x1=3+2 ,x2=3?2
分别代入直线方程得y1=2+2 ,y2=2?2
即A、B的坐标分别为（3+2 ，2+2 ），（3?2 ，2?2 ）
∴AB=
解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1?x2=1
∴AB= x1?x2

解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，
AF等于点A到准线x=?1的距离AA′
即AF=AA′=x1+1
同理BF=BB′=x2+1
∴AB=AF+BF=x1+x2+2=8
点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。
变式训练：过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 , 两点，若 ，求 。
解： ， ， 。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 或 。
四、达标练习：
1．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 =（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知 为抛物线 上一动点， 为抛物线的焦点，定点 ，则 的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线 焦点 的直线 它交于 、 两点，则弦 的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动，求 中点 到 轴距离的最小值，并求出此时 中点 的坐标.
参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到 轴距离的最小值为 .
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于　 .
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆 的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90° 3．x2＝±16 y4． 5． 米
七、板书设计（略）


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