逍遥学能 2013-04-17 10:48
广州市高二水平测试摸拟题(113中学提供)
第一部分 （共50分）
一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
2. 函数 的定义域是 ( )
A． B. C. D.
3. 是（ ）
A. 最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数[fro:wwxk10
4.若直线ax+(1-a)y=3与直线(a－1)x+(2a－3)y=5,互相垂直,则a= ( )
A 3; B 1; C －2; D 3或1.
5. 设向量 等于（ ）
A． B． C． D．
6．在边长为1的正方形 内随机取一点 ，则点 到点
的距离小于1的概率为 （ ）
A． B． C． D．
7、在△ABC中， 分别是∠A、∠B、∠C的对边，
且 ，则∠A等于（ ）
A 60° B 30° C 120° D 150°
8、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
9.偶函数 满足： ，且在区间[0,3]与 上分别递减和递增，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知实数a,b满足 ,函数 的最大值记为 ,则 的最小值为( )
A 1; B 2; C D 3;
二． 题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．
11．等差数列 中， ，那么 的值是 ．
12. 已知实数 满足 则 的最大值为_______．
13．下图给出一个程序框图，其运行结果是_________.
14．已知函数 ，
则 的值______________
三．解答题：本大题6小题，共80分．
15. （本题满分12分）
已知函数 ．
（1）求函数 的最大值并求出此时 的值；
（2）若 ，求 的值．
16. (本小题满分12分)
某学校共有高一、高二、高三学生 名，各年级男、女生人数如下图：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取 名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（Ⅲ）已知 ，求高三年级中女生比男生多的概率．．
１７． 已知，圆C： ，直线 过点(－2,0)
（1）当直线 与圆C相切,求直线 的方程.
（2）当直线 与圆C相交于A、B两点，且 时，求直线 的方程.
18．（本小题满分14分）
如图1，在直角梯形 中， ， ，且 ．
现以 为一边向形外作正方形 ，然后沿边 将正方形 翻折，使平面 与平面 垂直， 为 的中点，如图2．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求点 到平面 的距离.
19.（本小题满分14分）
已知定义域为 的函数 是奇函数。
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
20.已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 （ ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为非零整数， ），试确定 的值，使得对任意 ，都有 成立．
113中学水平测试练习答案
一．选择题答卷：
题号12345678910
答案BCCDAACCDB
二、题答卷：
11．__________ 24_____________．12．___________7_____________．
13．__ _____________30________．14．________ _____________．
第Ⅱ卷
．15．解：（1）
…………2分
当 ，即 时， 取得最大值为 .
…………6分
（2）令 时，得 . …………8分
…………12分
16解:（本小题满分12分）
解：（1）由已知有 ；（4分）
（2）由（1）知高二男女生一起 人，又高一学生 人，所以高三男女生一起 人，
按分层抽样，高三年级应抽取 人；（8分）
（3）因为 ，所以基本事件有：
一共11个基本事件．其中女生比男生多，即 的基本事件有：
共5个基本事件，
故女生必男生多的事件的概率为 （12分）
17本小题满分14分）
解：将圆C的方程 配方得标准方程为 ，
则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.
(1) 当斜率存在时，设切线方程为： ，即
若直线 与圆C相切，则有 . ……………………
解得 . ……即切线方程为 …
当斜率不存在时， 切线方程为
(2) 解法一：过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
……………………………………………………………………………8分
解得 . ………………………………………………………………………………………………10分
（解法二：联立方程 并消去 ，得
.
设此方程的两根分别为 、 ，则用 即可求出a.）
∴直线 的方程是 和 . ………………………………………12分
18.（1）证明：取 中点 ，连结 ． 在△ 中， 分别为 的中点， 所以 ∥ ，且 ． 由已知 ∥ ， ，
所以 ∥ ，且 ．……3分
所以四边形 为平行四边形． 所以 ∥ ． …………………………4分
又因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ∥平面 ． ………………………5分
（2）证明：在正方形 中， ．
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ．
所以 ． ………………………7分
在直角梯形 中， ， ，可得 ．
在△ 中， ，
所以 ．
所以 ． …………………………8分
所以 平面 ． …………………………10分
（3）解法一：由（2）知， 平面
又因为 平面 ， 所以平面 平面 ． ……………………11分
过点 作 的垂线交 于点 ，则 平面
所以点 到平面 的距离等于线段 的长度 ………………………12分 在直角三角形 中，
所以
所以点 到平面 的距离等于 . ………………………14分
解法二：由（2）知，
所以
………………………12分
又 ，设点 到平面 的距离为
则
所以
所以点 到平面 的距离等于 . ………………………14分19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 是奇函数， ，
，得 ………………………………………………… 4分
（Ⅱ） ，
在 上为增函数， 在 上为减函数………… 8分
由不等式
得 …………………………………… 9分
∵ 是奇函数
∴ ………………………………… 10分
∵ 在R上单调递减
………………………………………… 11分
即 对任意的 恒成立.
…………………………12分
∴ ………………………………………… 13分
∴ …………………………………………………… 14分
20解：（1）由已知， （ ， ）， ………2分
即 （ ， ），且 ．
∴数列 是以 为首项，公差为1的等差数列．∴ ．………4分
（2）∵ ，∴ ，要使 恒成立，
∴ 恒成立，
∴ 恒成立，∴ 恒成立．…………6分
（?）当 为奇数时，即 恒成立，…………………………………………7分
当且仅当 时， 有最小值为1，∴ ．……………9分
（?）当 为偶数时，即 恒成立，………………………………………10分
当且仅当 时， 有最大值 ，∴ ．…………12分
即 ，又 为非零整数，则 ．
综上所述，存在 ，使得对任意 ，都有 ．…………………14分
例3解：（1）在已知式中，当 时，
∵ ∴
当 时， ①
②
①－②得，
∵ ∴ = ③
∵ 适合上式
当 时， ④
③－④得：
∵ ∴
∴数列 是等差数列，首项为1，公差为1，可得
（2）假设存在整数 ，使得对任意 ，都有 ．
∵ ∴
∴
∴ ⑤
当 （ ）时，⑤式即为 ⑥
依题意，⑥式对 都成立，∴λ<1
当 （ ）时，⑤式即为 ⑦
依题意，⑦式对 都成立，
∴ ∴
∴存在整数 ，使得对任意 ，都有