逍遥学能 2013-02-20 07:55
§1.1 正弦定理
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程
一、前准备
试验：固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动．
思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出？
二、新导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有 ， ，又 ，
从而在直角三角形ABC中， ．
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD= ，则 ，
同理可得 ，
从而 ．
类似可推出，当 ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
．
试试：
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）．
A． B.
C. D.
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ；
（2） 等价于 ， ， ．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ； ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如 ； ．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在 中，已知 ， ， cm，解三角形．
变式：在 中，已知 ， ， cm，解三角形．
例2. 在 ．
变式：在 ．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展
，其中 为外接圆直径.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在 中，若 ，则 是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶
3. 在△ABC中，若 ，则 与 的大小关系为（ ）.
A. B.
C. ≥ D. 、 的大小关系不能确定
4. 已知 ABC中， ，则 = ．
5. 已知 ABC中， A ， ，则
= ．
后作业
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝ ，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．
§1.2 余弦定理
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
学习过程
一、前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC中，已知 ，A=45，C=30，解此三角形．