逍遥学能 2015-10-09 11:42
（2013•江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，是BC的中点，连接D和E，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF=AG= AB；②D=E；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是BC的中点，连接D和E，则D和E具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探索：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是BC的中点，连接D和E，试判断△ED的形状．
答： ．
【答案】 解：
●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：D=E，D⊥E，
１、D=E；
如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，F，G，EG，
∵是BC的中点，
∴F∥AC，F= AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，
∴EG⊥AC且EG= AC，
∴F=EG．
同理可证DF=G．
∵F∥AC，
∴∠FA＋∠BAC=180°．
同理可得∠GA+∠BAC=180°，
∴∠FA=∠GA．
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°，
∴∠FA+∠DFA=∠GA=∠EGA，
即∠DF=∠EG，又F=EG，DF=G，
∴△DF≌△GE（SAS），
∴D=E．
2、D⊥E；
证法一：∵G∥AB，
∴∠FA+∠FG=180°，
又∵△DF≌△GE，∴∠EG=∠DF.
∴∠FA+∠FD+∠DE+∠DF=180°，
其中∠FA+∠FD+∠DF=90°，
∴∠DE=90°.
即D⊥E；
证法二：如图2，D与AB交于点H，
∵AB∥G，
∴∠DHA=∠DG，
又∵∠DHA=∠FD+∠DFH,
即∠DHA=∠FD+90°,
∵∠DG=∠DE+∠GE，
∴∠DE=90°
即D⊥E；
●类比探究
答：等腰直角三解形
【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．
【解题思路】 （1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DB=45°也正确；（2）直觉告诉我们D和E是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DF≌△GE的启发，应想到取中点构造全等来证D=E，证D⊥E就是要证∠DE=90°，由△DF≌△GE得∠EG=∠DF, △DF中四个角相加为180°，∠FG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DE=90°． （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.
【解答过程】 略.
【方法规律】 由特殊到一般，形变但本质不变（仍然全等）
【关键词】 课题学习 全等 开放探究
（2013，河北）如图8-1，是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成
△ABC，且∠B = 30°，∠C = 100°，如图8-2.
则下列说法正确的是
A．点在AB上
B．点在BC的中点处
C．点在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点在BC上，且距点C较近，距点B较远
（2013•上海）如图3，在△ 和△ 中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ ≌△ ，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）
（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．
（2013•上海）如图5，在△ 中， ， ， tan C = 32 ，如果将△
沿直线l翻折后，点 落在边 的中点处，直线l与边 交于点 ，
那么 的长为__________．
（2013•上海）如图8，在△ 中， ， ，点 为边 的中点， 交 于点 ， 交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，过点 作 的垂线交 的
延长线于点 ，求证： ．
（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．20或16C．20D．12
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解答：解：①当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当4为腰时，
其它两边为4和8，
∵4+4=8，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有20．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
（2013•毕节地区）如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．45°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．
分析：根据平行线的性质可得∠CFE=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠D=∠CFE．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠EBA=45°，
∴∠CFE=45°，
∴∠E+∠D=∠CFE=45°，
故选：D．
点评：此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角 的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2013•昆明）如图，在 ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点， A=50?， ADE=60?，则 C的度数为（ ）
A.50? B.60?
C.70? D.80?
（2013•昆明）在平面直角坐标系 中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得 AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个。
（2013•昆明）已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD,AB∥CD.求证：AB=CD.
（2013•邵阳）如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC= 10 ．
考点：三角形中位线定理．
分析：由在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，即可求得答案．
解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE= BC，
∵DE=5，
∴BC=10．
故答案为：10．
点评：此题考查了三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
（2013•邵阳）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB．
（2）求∠DFC的度数．
考点：平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．
分析：（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
解答：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2= ∠DCE，
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°，
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CF；
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°?30°?45°=105°．
点评：此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= 20 ．
考点：全等三角形的性质．
分析：先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．
解答：解：如图，∠A=180°?50°?60°=70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=20，
即x=20．
故答案为：20．
点评：本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．
（2013•铜仁）已知△ABC的各边长度分别为3c,4c,5c，则连结各边中点的三角形的周长为（ ）
A.2cB.7cC.5cD.6c
（2013•铜仁）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.
求证：BD=CE.
证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE AB=AC………………………………4分
又∵∠EAC=90°+∠CAD， ∠DAB=90°+∠CAD
∴∠DAB=∠EAC…………………………6分
在△ADB和△AEC中
∵AD=AE
∠DAB=∠EAC
AB=AC
∴△ADB≌△AEC(SAS) …………………………8分
∴BD=CE……………………………
（2013•红河）如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作 ，交DE的延长线于点F．求证：AD = CF．
证明：∵E是AC的中点，
∴AE = CE． ………………………1分
∵CF∥AB，
∴∠A =∠ECF, ∠ADE =∠F． ………………………………3分
在△ 与△ 中，
∴△ ≌△ （AAS）． ……………………………4分
∴ ．