逍遥学能 2015-09-22 21:44
29、（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1： ．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：．
分析：（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH?AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
解答：
解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H． （1分）
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行等于EG． （2分）
故四边形EGHD是矩形． （3分）
∴ED=GH． （4分）
在Rt△ADH中，
AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）． （5分）
在Rt△FGE中，
i= = ，
∴FG= EG=10 （米）． （6分）
∴AF=FG+GH?AH=10 +3?10=10 ?7（米）；（7分）
（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长（8分）
= ×（3+10 ?7）×10×500
=25000 ?10000（立方米）． （9分）
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10 ?7）米；
（2）完成这项工程需要土石（25000 ?10000）立方米． （10分）
点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
30、（2013•内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1： （即AB：BC=1： ），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．
解答：解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE= = x，
在Rt△ABC中，
∵ = ，AB=3，
∴BC=3 ，
在Rt△AFD中，DF=DE?EF=x?3，
∴AF= = （x?3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴ （x?3）=3 + x，
解得x=9．
答：树高为9米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
31、(2013河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 ，背水坡坡角 ，新坝体的高为 ，背水坡坡角 。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 .
(结果精确到0.1米，参考数据： ）
【解答】
在Rt△BAE中， ，BE=162米
∴ （米）
在Rt△DEC中， ，DE=176.6米
∴ （米）
∴ （米）
即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 约为37.3米
32、（2013•宁波）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB=AD+BD即可求出AB的值．
解答：解：由题意得，∠EAC=45°，∠FCB=60°，
∵EF∥AB，
∴∠CAD=∠ECA=45°，∠CBD=∠FCB=60°，
∵∠ACD=∠CAD=90°，
在Rt△CDB中，tan∠CBD= ，
∴BD= =17 米，
∵AD=CD=51米，
∴AB=AD+BD=51+17 ．
答：A，B之间的距离为（51+17 ）米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形．
33、（2013四川宜宾）宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代（一说是唐代韦皋所建），后毁于兵火，乾隆乙酉年（1765年）重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度．如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小伟算算大观楼的高度．（测角仪高度忽略不计， ≈1.7，结果保留整数）．
考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．
专题：．
分析：设大观楼的高OP=x，在Rt△POB中表示出OB，在Rt△POA中表示出OA，再由AB=12米，可得出方程，解出即可得出答案．
解答：解：设大观楼的高OP=x，
在Rt△POB中，∠OBP=45°，
则OB=OP=x，
在Rt△POA中，∠OAP=60°，
则OA=OPcot∠OAP= x，
由题意得，AB=OB?OA=12，即x? x=12，
解得：x=18+6 ，
故大观楼的高度OP=18+6 ≈28米．
答：大观楼的高度约为28米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．
34、（2013凉山州）小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE=β．
第二步：小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD=a．
第三步：量出测角仪的高度CD=b．
之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图．
请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题．
（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：
（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB（参考数据： ， ，结果保留3个有效数字）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；条形统计图；折线统计图．
分析：（1）根据图中的信息将数据填入表格，并求平均值即可；
（2）过C作CE⊥AB于E，可知四边形EBDC是矩形，可得CE=BD=a，BE=CD=b，在Rt△AEC中，根据β=30°，解直角三角形求出AE的长度，继而可求得树AB的高度，即风筝的高度．
解答：解：（1）填写表格如图：
（2）过C作CE⊥AB于E，
则四边形EBDC是矩形，
∴CE=BD=a，BE=CD=b，
在Rt△AEC中，
∵β=30°，a=15.81，
∴AE=BEtan30°=15.81× ≈9.128（米），
则AB=AE+EB=9.128+1.32=10.448≈10.4（米）．
答：风筝的高度AB为10.4米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及了条形统计图和折线统计图的知识，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，锻炼了同学们读图的能力．
35、(2013浙江丽水)一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3，已知木箱高BE= ，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。
36、（2013•天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684
分析：首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112，在Rt△ACD中，易求得BD=AD?AB=CD?112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD?112，继而求得答案．
解答：解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD?AB=CD?112（），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，∠BCD=90°?∠CBD=36°，
∴tan36°= ，
∴BD=CD•tan36°，
∴CD•tan36°=CD?112，
∴CD= ≈ ≈415（）．
答：天塔的高度CD为：415．
点评：本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
37、（2013•昆明）如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i=1：1.2（垂直高度CE与水平宽度DE的比），上底BC=10，天桥高度CE=5，求天桥下底AD的长度？（结果精确到0.1，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
分析：过B作BF⊥AD于F，可得四边形BCEF为矩形，BF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，分别解直角三角形求出AF，ED的长度，继而可求得AD的长度．
解答：解：过B作BF⊥AD于F，则四边形BCEF为矩形，
则BF=CE=5，BC=EF=10，
在Rt△ABF中， =tan35°，
则AF= ≈7.1，
在Rt△CDE中，
∵CD的坡度为i=1：1.2，
∴ =1：1.2，
则ED=6，
∴AD=AF+EF+ED=7.1+10+6=23.1（）．
答：天桥下底AD的长度为23.1．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，分别用解直角三角形的知识求出AF、ED的长度，难度一般．