逍遥学能 2015-02-01 19:11
第4章 相似三角形检测题
（本试卷满分120分，时间：120分钟）
一、（每小题3分，共30分）
1.已知四条线段 是成比例线段，即 ，下列说法错误的是（ ）
A．
B.
C.
D．
2.若 ，且 ，则 的值是（ ）
A.14 B.42 C.7 D.
3.下列四组图形中 ，不是相似图形的是（ ）
4.已知两个相似多边形的面积比是9?16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边 形的周长为( )
A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm
5.如图 ，在△ 中，点 分别是 的中点，则下列结论：
① ；②△ ∽△ ；③ .其中正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
6.如图，已知 // ， // ， 分别交 于点 ，则图中共有相似三角形（ ）
A.4对 B.5对 C. 6对 D.7对
7.如图，在 △ 中，∠ 的垂直平分线 交 的延长线于点 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
8.已知△ 如图所示，则下列4个三角形中，与△ 相似的是（ ）
9.（2013•四川中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）
A. 1?2 B. 1?3
C. 1?4 D. 1?5
10.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
二、题（ 每小题3分，共24分）
11.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积 为________．
1 2.已知 ，且 ，则 _______.
13.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC ＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
14. 若 ，则 .
15.如图是小明设计用手电来测量某 古城墙高度的示意图，点 处放一水平的平面镜，光线从点 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端 处，已知 ， ，且测得 ， ， ，那么该古城墙 的高度是_____ .
16.已知五边形 ∽五边形 ，
17.如图，在△ 中， 分别是 边上的点， , 则 _______．
18.如图，△ 三个顶点的坐标分别为 ，以原点为位似中心， 将△ 缩小，位似比为 ，则线段 的中点 变换后对应点的坐标为_________.
三、解答题（共66分）
19.（8分）已知：如图， 是 上一点， ∥ ， ， 分别
交 于点 ，∠1=∠2，探索线 段 之间的关系，
并说明理由.
20.(8分)已知：如图所示，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥A B
于点F，EG⊥AD于点G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．
21.(8分)试判断如图所示的两个矩形是否相似.
22.（8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1 2；
（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.
23.（8分）已知：如图，在△ 中， ∥ ，点 在边 上， 与 相交于点 ，且∠ ．求证：（1）△ ∽△ ；（2）
24．（8分）如图，在正方形 中， 分别是边 上的点，
连结 并延长交 的延长线于点
（1）求证： ；
（2）若正方形的边长为4，求 的长．
25.(8分)下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似的，它们的一切对应线段之比都等于相似比a∶b． 设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则 ．
又设Ｖ甲、Ｖ乙分别表示这两个正方体的体积，则 ．
（1）下列几何体中，一定是相似体的是（ ）
A．两个球体 B．两个圆锥体
C．两个圆柱体D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于______；
②相似体的表面积的 比等于______；
③相似体的体积的比等于_______．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了八年级时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
26.（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个 案例，请补充完整.
原题：如图①，在 ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若 =3,求 的值.
（1）尝试探究
在图①中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ， 的 值是 .
（2）类比延伸
如图②，在原题的条件下，若 =m(m＞0）,则 的值是 (用含m的代数式表示），试写出解答过程.
（3）拓展迁移
如图③，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若 =a, =b (a＞0，b＞0)，则 的值是 (用含a、b的代数式表示）.
第4章 相似三角形检测题参考答案
一、
1.C 解析：由比例的基本性质知A、B、D项都正确，C项不正确.
2.D 解析：设 ，则 所以 所以 .
3.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项都为相似图形，D项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.
4.A 解析：两个相似多边形的面积比是9?16，则相似比为3?4，所以两图形的周长比为3?4，即36?48，故选A.
5.A 解析：因为点 分别是 的中点，所以 是△ 的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.
6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .
7. B 解析：在 △ 中，∠ 由勾股定理得
因为 所以 .又因为 所以
△ ∽△ 所以 ，所以 ，所以 .
8.C 解析：由 对照四个选项知，C项中的三角形与△ 相似.
9.A 解析:易证△BCD与△BAC相似，而周长比等于相似比，相似比等于对应边的比,△BCD与△BAC的相似比＝ ，且∠BCD ＝∠A=30°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得 ＝ .
10.D 解析：选项A中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B中，由于任意两个等边三角形相似，因此B中两三角形相似；同理C中两正方形相似；D中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似.
二、题
11.90，270 解析：设另一三角形的其他两边长分别为
由题意得 ，所以 又因为
所以三角形是直角三角形，所以周长为
12.4 解析：因为 ，所以设 ，所以 所以
13. 或2 解析：设 ，由折叠的性质知 ，
当△ ∽△ 时， ，∴ ，解得 .
当△ ∽△ 时, ，∴ ，解得 .∴ 的长度是 或2.
14. 解析：设 ，则 ， ， ，
∴ .
15.8 解析：由反射角等于入射角知∠ ∠ ， 所以△ ∽△ 所以 ，所以 ，所以
16. 解析：因为五边形 ∽五边形 所以 .又因为五边形的内角和为 所以 .
17. 解析：在△ 和△ 中，∵ , ,∴ △ ∽△ .
∴ ∴ ∴ .
18. 或 解析：∵ （2，2）， （6，4），∴ 其中点坐标 为（4，3），又以原点为位似中心，将△ 缩小，位似比为 ，∴ 线段 的中点 变换后对应点的坐标为 或 .
三、解答题
19.解： . 理由如下：
∵ ∠ ∠ ， ∴ .
又∵ ∴ △ ∽△ ，
∴ ，即 .
20.分析：通过观察可以知道四边形 是正方形， 的值与 的值相等，从而可以求出 的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形 的面积.
解:已知正方形ABCD，且EF⊥AB，EG⊥AD,∴ EF∥CB，EG∥DC.
∴ 四边形AFEG是平行四边形.∵ ∠1 ∠2 45°,∴ .
又∵ ∠ ，∴ 四边形AFEG是正方形，
∴ 正方形ABCD∽正方形AFEG，
∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）.
在△ABC中，EF∥CB ,∴ AE∶EC=AF∶FB=2∶1.
又 ,∴ .∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16，
∴ .
21.分析：要判定两个多边形相似，必须对应角相等，对应边成比例，因矩形的四个角都是直角，符合对应角相等，只要证明对应边成比例即可.
解：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.
从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，
于是两个矩形的长之比为 = ,宽之比为 ,
符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.
22.解：（1）如图.
（2）四边形 的周长=4+6 .
23.证明：（1）∵ ，∴ ∠ ．
∵ ∥ ，∴ ，
．∴ ．
∵ ，∴ △ ∽△ ．
（2）由△ ∽△ ，得 ．
∴ ．
由△ ∽△ ，得 ．
又∵ ∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．
24.（1）证明：在正方形 中， ， .
∵ ∴ ，
∴ ，∴ .
（2）解：∵ ∴ ，
由(1)得 ，∴ ，
∴ .
由 ∥ ，得 ，∴ △ ∽△ ，
∴ ，∴ .
25.分析：本题是相似图形的推广，理解相似正方体的概念和性质，由此类比，从而得出相似体的性质.
解：（1）A
（2）①相似比
②相似比的平方
③相似比的立方
（3）可由相似体的特征，直接列方程求解．
设他的体重为 千克，则 ．解得 （千克）．
答：他的体重为60.75千克.
26.分析：（1）∵ EH∥AB,∴ ∠BAF=∠HEF,∠ABF=∠EHF,∴ △ABF∽△EHF.∴ = =3,
∴ AB=3EH.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.
又EH∥AB，∴ EH∥CD.
∴ △BEH∽△BCG,∴ = =2,即CG＝2EH.∴ ＝ ＝ ＝ .
（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB,△BEH∽△BCG,∴ 可证AB＝mEH，CG＝2EH，从而 ＝ ＝ .
（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则△BCD∽△BEH,△ABF∽△EHF，
∴ = , = .∴ EH= , = =ab.
解：（1）AB＝3EH；CG＝2EH； .
（2） .解答过程如下：
作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB.
∴ = =m,∴ AB=mEH.∵ AB=CD,∴ CD=mEH.
∵ EH∥AB∥CD,∴ △BEH∽△BCG.
∴ ＝ ＝2，∴ CG＝2EH.∴ = = .
(3)ab.