逍遥学能 2014-12-16 21:00
三、解答题
11.(2012上海理改编)如图，在四棱锥中，底面是矩形，是四棱锥的高，是的中点，已知，，，求：
⑴四棱锥的体积；
⑵异面直线与所成的角的大小.
考查目的：考查异面直线所成角的概念及其求法.
答案：⑴，⑵.
解析：⑴根据题意四棱锥的体积.⑵取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角△AEF中，，∴.在△AEF中，，，AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴异面直线BC与AE所成的角大小为.
12.(2011湖南文)如图，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在上，且，D为AC的中点.
⑴证明：AC平面POD；
⑵求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，以及空间想象能力.
答案：⑴略，⑵.
解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，底面⊙O，∴AC⊥OD.PO是平面POD内的两条相交直线，∴AC⊥平面POD.
⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，过O作OH⊥PD于点H，则OH⊥平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在中，；在中，.
13.(2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点.
⑴证明：EF∥平面PAD；
⑵求三棱锥E—ABC的体积V.
考查目的：考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积计算.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.
⑵连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则BG⊥平面ABCD，且.在△PAB中，AD=AB，，BP=2，∴，.∴，∴.
14.(2010四川理)已知正方体的棱长为1，点M是棱的中点，点O是对角线的中点.
⑴求证：OM为异面直线和的公垂线；
⑵求二面角的正切值.
考查目的：考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，空间想象能力和逻辑推理能力.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK.∵M是棱的中点，点O是的中点，∴，∴.
由⊥AK，得MO⊥.∵AK⊥BD，AK⊥，∴AK⊥平面，∴AK⊥，∴MO⊥.又∵OM与异面直线和都相交，
∴OM为异面直线和的公垂线.
⑵取中点N，连结MN，则MN⊥平面.过点N作NH⊥于H，连结MH，则由三垂线定理得⊥MH，从而，∠MHN为二面角的平面角.MN=1，.在Rt△MNH中，，
∴二面角的正切值大小为.
15.(2012湖南理)如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，是的中点.
⑴证明：CD⊥平面PAE；
⑵若直线与平面成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.
考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线和平面所成角的运用，体积计算以及综合运用立体几何知识解决问题的能力.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴连接，由，，，得.又∵，Ｅ是的中点，∴.∵，∴.而是平面内的两条相交直线，∴⊥平面.
⑵过点作，分别与相交于，连接.由⑴⊥平面知，⊥平面，∴为直线与平面所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.，，.由题意知，.∵，∴.由知，AD∥BC. 又∵BG∥CD，∴四边形是平行四边形，∴，∴.在中，，∴，于是.又∵梯形的面积为，∴四棱锥的体积为.