初中数学余弦的公式证明方法

　　【—余弦的公式证明方法】余弦的公式证明方法包括两种，一是平面向量证法，二是平面几何证法。

　　余弦的证明方法

　　平面向量证法

　　∵有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

　　∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2abCos(π-θ)

　　(以上粗体字符表示向量)

　　又∵Cos(π-θ)=-CosC

　　∴c^2=a^2+b^2-2abCosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

　　再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

　　即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

　　同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

　　平面几何证法

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC，交BC于D

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

　　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

　　不论是平面向量证法，还是平面几何证法，都是为了证明余弦公式定理而存在的。

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