逍遥学能 2014-10-06 19:35
第1章 全等三角形检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、（每小题3分，共30分）
1.要测量河两岸相对的两点 的距离，先在 的垂线 上取两点 ，使 ，再作出 的垂线 ，使 在一条直线上（如图所示），可以说明△ ≌△ ，得 ，因此测得 的长就是 的长，判定△ ≌△ 最恰当的理由是（ ）
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.边边角
2.如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 ，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走
2 012 停下，则这个微型机器人停在（ ）
A.点A处 B.点B处
C.点C处 D.点E处
3.如图，已知AB∥CD,AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有( )
A.5对 B.6对
C.7对 D.8对
4.下列命题中正确的是（ ）
A.全等三角形的高相等
B.全等三角形的中线相等
C.全等三角形的角平分线相等
D.全等三角形对应角的平分线相等
5.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC
C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA
6.如图所示， 分别表示△ABC的三边长，则下面与△ 一定全等的三角形是（ ）
7.已知：如图所示，B、C、D三点在同一条直线上，AC=CD，∠B= ∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
8.如图所示，两条笔直的公路 、 相交于点O， C村的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5 k，村庄C到公路 的距离为4 k，则C村到公路 的距离是（ ）
A.3 k B.4 k
C.5 k D.6 k
9.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE，上述结论一定正确的是（ ）
A.①②③ B.②③④
C.①③⑤ D.①③④
10.如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（ ）
A.全部正确 B.仅①和②正确
C.仅①正确 D.仅①和③正确
二、题（每小题3分，共24分）
11.（2012•山东临沂中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2 c,CD⊥AB，在AC上取一点E,使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 c，则AE＝ c.
12.（2012•浙江义乌中考）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连结CE，BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE,你添加的条件是 （不添加辅助线）.
13.如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠BCE= 度.
14.如图所示，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE是 度.
15.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= .
16.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8 c，BD=5 c，那么D点到直线AB的距离是 c.
17.如图所示，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
18. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有 .
三、解答题（共46分）
19.（6分） 如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．
20.（8分）如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求 ∠DFB和∠DGB的度数．
21.（6分）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.
求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.
22.（8分）（2012•重庆中考）已知：如图，AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.
求证：BC=ED.
23.（9分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD，CE相交于F.
求证：AF平分∠BAC.
24.（9分） 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE，交CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．
第1章 全等三角形检测题参考答案
1. B 解析：∵ BF⊥AB，DE⊥BD，∴ ∠ABC=∠BDE.
2.C 解析：因为 两个全等的等边三角形的边长均为1 ，
所以 机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6 .
因为2 012÷6=335……2，即行走了335圈余2 ，
所以行走2 012 停下时，这个微型机器人停在点C处．故选C．
3.C 解析：由已知条件可以得出△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，△ADE≌△CBF，
△AEO≌△CFO，△ADC≌△CBA，△BCD≌△DAB，△AEB≌△CFD，共7对，故选C.
4.D 解析：因为全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线相等，A、B、C项没有“对应”，所以错误，而D项有“对应”，D是正确的．故选D．
5.D 解析：因为 △ABC和△CDE都是等边三角形，
所以 BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
所以 ∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
所以 在△BCD和△ACE中，
所以 △BCD≌△ACE（SAS），故A成立.
因为 △BCD≌△ACE，所以 ∠DBC=∠CAE.
因为 ∠BCA=∠ECD=60°，所以 ∠ACD=60°.
在△BGC和△AFC中， 所以 △BGC≌△AFC，故B成立.
因为 △BCD≌△ACE，所以 ∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中， 所以 △DCG≌△ECF，
故C成立.故选D．
6.B 解析：A.与三角形 有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B.与三角形 有两边及其夹角相等，二者全等；
C.与三角形 有两边相等，但夹角不相等，二者不全等；
D.与三角形 有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．
故选B．
7.D 解析：因为 B、C、D三点在同一条直线上，且AC⊥CD，所以 ∠1+∠2=90°.
因为 ∠B=90°，所以 ∠1+∠A=90°，所以 ∠A=∠2. 故B选项正确.
在△ABC和△CED中，
所以 △ABC≌△CED，故C选项正确.
因为 ∠2+∠D=90°，
所以 ∠A+∠D=90°，故A选项正确.
因为 AC⊥CD，所以 ∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，故D选项错误．故选D．
8. B 解析：如图所示，连接AC，作CF⊥ ，CE⊥ .
因为 AB=BC=CD=DA=5 k，所以 △ABC≌△ADC，
所以 ∠CAE=∠CAF，所以 CE=CF=4 k．故选B．
9. D 解析：因为 AB=AC，所以 ∠ABC=∠ACB．
因为 BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
所以 ∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
所以 ①△BCD≌△CBE （ASA）；
由①可得CE=BD,所以 ③△BDA≌△CEA （SAS）；由①可得BE=CD，又∠EOB=∠DOC，所以④△BOE≌△COD （AAS）．故选D.
10. B 解析：因为 PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP，
所以 △ARP≌△ASP（HL），所以 AS=AR，∠RAP=∠SAP.
因为 AQ=PQ，所以 ∠QPA=∠SAP，
所以 ∠RAP=∠QPA，
所以 QP∥AR.
而在△BPR和△QPS中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，
所以无法得出△BPR≌△QPS.故本题仅①和②正确．故选B．
11.3 解析:由条件易判定△ABC≌△FCE，所以 AC=EF=5 c，则AE=AC-CE＝EF-BC＝5-2=3（c）.
12. DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等） 解析：因为 BD=CD，∠FDB=∠EDC，DF=DE，所以 △BDF≌△CDE. 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.（以第一种为例，添加其他条件的请同学们自行证明）
13. 39 解析：因为 △ABC和△BDE均为等边三角形，
所以 AB=BC，∠ABC =∠EBD=60°，BE=BD.
因为 ∠ABD=∠ABC +∠DBC，∠EBC=∠EBD +∠DBC，
所以 ∠ABD=∠CBE，
所以 △ABD≌△CBE，所以 ∠BCE=∠BAD =39°．
14. 60 解析：因为 △ABC是等边三角形，
所以 ∠ABD=∠C，AB=BC.
因为 BD=CE，所以 △ABD≌△BCE，所以 ∠BAD=∠CBE.
因为 ∠ABE+∠EBC=60°，所以 ∠ABE+∠BAD=60°，
所以 ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°．
15. 55° 解析：在△ABD与△ACE中，
因为 ∠1+∠CAD=∠CAE +∠CAD，所以 ∠1=∠CAE.
又因为 AB=AC，AD=AE，
所以 △ABD ≌△ACE（SAS）.所以 ∠2=∠ABD.
因为 ∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，
所以 ∠3=55°．
16. 3 解析：由∠C=90°，AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E，
所以D点到直线AB的距离就是DE的长.
由角平分线的性质可知DE=DC，
又BC=8 c，BD=5 c，所以DE=DC=3 c．
所以D点到直线AB的距离是3 c．
17. 31.5 解析：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，
因为 OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
所以 OD=OE=OF.
所以
= ×OD×BC+ ×OE×AC+ ×OF×AB
= ×OD×（BC+AC+AB）
= ×3×21=31.5．
18. ①②③④ 解析：∵ 在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，已知DE⊥AB，DF⊥AC，可证△ADE≌△ADF（AAS），
故有∠EDA=∠FDA，AE=AF，DE=DF，①②正确；
AD是△ABC的角平分线，在AD上可任意设一点，可证△BD≌△CD，∴ B=C，∴ AD上的点到B，C两点的距离相等，③正确；
根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．故填①②③④．
19. 分析：（1）要证OA=OB，由等角对等边知需证∠CAB=∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证得．（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB=∠ACD，由已知和（1）可证得∠OCD=∠ODC，又因为∠AOB=∠COD，所以可证得∠CAB=∠ACD，即AB∥CD获证．
证明：（1）因为 △ABC≌△BAD，所以 ∠CAB=∠DBA，所以 OA=OB． （2）因为 △ABC≌△BAD，所以 AC=BD.
又因为 OA=OB，所以 AC-OA=BD-OB，
即OC=OD,所以 ∠OCD=∠ODC.
因为 ∠AOB=∠COD，∠CAB= ，∠ACD= ，
所以 ∠CAB=∠ACD，所以 AB∥CD．
20. 分析：由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC= （∠EAB-∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B.因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角性质可得∠DGB=∠DFB -∠D，即可得∠DGB的度数．
解：因为 △ABC≌△ADE，
所以 ∠DAE=∠BAC= （∠EAB-∠CAD）= ．
所以 ∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，
∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．
21. 分析：首先根据角之间的关系推出∠EAC=∠BAF．再根据边角边定理，证明△EAC≌ △BAF．最后根据全等三角形的性质定理，得知EC=BF．根据角的转换可求出EC⊥BF.
证明：(1)因为 AE⊥AB，AF⊥AC，所以 ∠EAB=90°=∠FAC，
所以 ∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC.
又因为 ∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC.
所以 ∠EAC=∠BAF.
在△EAC与△BAF中，
所以 △EAC≌△BAF. 所以 EC=BF.
(2)因为 ∠AEB+∠ABE=90°，又由△EAC≌△BAF可知∠AEC=∠ABF，
所以 ∠CEB+∠ABF+∠EBA=90°，即∠EB+∠EB=90°，即∠EB=90°，
所以 EC⊥BF.
22.分析：要证BC=ED,需证△ABC≌△AED.
证明：因为 ∠1=∠2,
所以 ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠BAC=∠EAD.
又因为 AB=AE,∠B=∠E,
所以 △ABC≌△AED,
所以 BC=ED.
点拨：已知一边一角对应相等证两三角形全等时，思路有三种：（1）证对应角的另一边对应相等，“凑”SAS；（2）证对应边的对角对应相等，“凑”AAS；（3）证对应边的另一邻角对应相等，“凑”ASA.
23. 证明：因为 BD⊥AC ，CE⊥AB，所以 ∠AEC=∠ADB=90°.
在△ACE与△ABD中，
所以△ACE≌△ABD （AAS）,所以AE=AD.
在Rt△AEF与Rt△ADF中，
所以Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
所以∠EAF=∠DAF，所以AF平分∠BAC.
24. ⑴证明：设∠ACE=∠1,因为直线BF垂直于CE，交CE于点F,所以∠CFB=90°，
所以∠ECB+∠CBF=90°.
又因为∠1+∠ECB=90°，所以∠1=∠CBF .
因为AC=BC, ∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.
又因为点D是AB的中点，所以∠DCB=45°.
因为∠1=∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.
(2)解：C=BE.证明如下：因为∠ACB=90°,所以∠ACH +∠BCF=90°.
因为 CH⊥A，即∠CHA=90°,所以 ∠ACH +∠CAH=90°,所以∠BCF=∠CAH.
因为 CD为等腰直角三角形斜边上的中线,所以 CD=AD.所以∠ACD=45°.
在△CA与△BCE中,CA=BC,∠CAH =∠BCF, ∠AC =∠CBE,
所以 △CA ≌△BCE,所以C=BE.