逍遥学能 2018-10-06 17:29
3.2 不等式的基本性质
1．若x＞y，则下列式子中，错误的是(D)
A．x－3＞y－3 B.x3>y3
C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y
2．若x>y，则下列不等式不一定成立的是(D)
A. x＋1>y＋1 B. 2x>2y
C. x2>y2 D. x2>y2
3．下列不等式变形正确的是(A)
A．1≥2－x⇒x≥1 B．－x＜3⇒x＜－3
C.13x＞－6⇒x＞－2 D．－7x≤8⇒x≥－78
4．(1)若－4x>－3，则x__<__34.
(2)若ac2>bc2(c≠0)，则a__>__b.
(3)若－xπ<－yπ，则x__>__y.
5．满足不等式12x<1的非负整数是0，1．
6．现有不等式的两个性质：
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．
②在不等式的两边都乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a 与a 的大小(a≠0)．
(2)利用性质②比较2a 与a 的大小(a≠0)．
【解】 (1)当a＞0时，a＋a＞a＋0，即2a＞a.
当a＜0时，a＋a＜a＋0，即2a＜a.
(2)当a＞0时，由2＞1，得2•a＞1•a，即2a＞a.
当a＜0时，由2＞1，得2•a＜1•a，即2a＜a.
7．(1)若x>y ，请比较2－3x 与 2－3y 的大小，并说明理由．
【解】 2－3x<2－3y.理由如下：
∵x>y(已知)，
∴－3x<－3y (不等式的基本性质3)，
∴2－3x<2－3y (不等式的基本性质2)．
(2)若x>y，请比较(a－3)x与(a－3)y的大小．
【解】 当a>3时，∵ x>y, a－3>0，
∴ (a－3)x>(a－3)y.
当a＝3时，∵ a－3＝0，
∴ (a－3)x＝(a－3)y＝0.
当a<3时，∵ x>y, a－3<0，
∴ (a－3)x<(a－3)y.
8．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式：
(1)x＋2>7.
【解】 两边都减去2，得x>5.
(2)3x<－12.
【解】 两边都除以3，得x<－4.
(3)－7x>－14.
【解】 两边都除以－7，得x<2.
(4)13x<2.
【解】 两边都乘3，得x<6.
9．已知关于x的不等式x>a－32表示在数轴上如图所示，则a的值为(A)
（第9题）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【解】 由题意，知a－32＝－1，解得a＝1.
10．当0<x<1时，x2，x，1x的大小顺序是(A)
A. x2<x<1x B. 1x<x<x2
C. 1x<x2<x D. x<x2<1x
【解】 ∵0<x<1，
∴在不等式0<x<1的两边都乘x，得0<x2<x；
在不等式0<x<1的两边都除以x，得0<1<1x.∴x2<x<1x.
11．已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜6m－1，则化简：|m－1|－|2－m|＝－1．
【解】 ∵(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜6m－1，∴m－1＜0，
两边都加上1，得m＜1，∴2－m＞0，
∴|m－1|－|2－m|＝(1－m)－(2－m)
＝1－m－2＋m＝－1.
12．已知有理数a在数轴上的位置如图所示：
(第12题)
试比较a，－a，|a|，a2和1a的大小，并将它们按从小到大的顺序，用“＜”或“＝”连接起来．
【解】 由图可知－1＜a＜0，
∴0＜－a＜1，|a|＝－a，
a＜a2＜－a，1a＜－1＜a，
∴1a＜a＜a2＜－a＝|a|.
13．(1)若x<y ，且(a－2)x<(a－2)y ，求a的取值范围．
【解】 ∵x<y 两边同时乘(a－2)，得(a－2)x<(a－2)y，
由于不等号的方向不变，因此可以判断不等式两边同乘了一个正数，
∴a－2>0，∴a>2.
(2)已知关于x的不等式(1－a)x≥2可化为x≤21－a，试确定a的取值范围．
【解】 ∵(1－a)x≥2两边同时除以(1－a)，得x≤21－a，
由于不等号的方向改变了，因此可以判断不等式
两边同时除以了一个负数，
∴1－a＜0，∴a＞1.
14．已知a，b，c是三角形的三边，求证：ab＋c＋bc＋a＋ca＋b<2.
【解】 由“三角形两边之和大于第三边”可知，
ab＋c，bc＋a，ca＋b均是真分数，
再利用分数与不等式的性质，得
ab＋c<a＋ab＋c＋a＝2ab＋c＋a.
同理，bc＋a<2bc＋a＋b，ca＋b<2ca＋b＋c.
∴ab＋c＋bc＋a＋ca＋b<2ab＋c＋a＋2bc＋a＋b＋2ca＋b＋c＝2（a＋b＋c）a＋b＋c＝2.