逍遥学能 2018-09-20 12:23
2018-2019学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1， ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
4．（3分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
5．（3分）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
9．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（ ）
A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），则点P的坐标是 ．
12．（3分）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3的度数是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于点E，∠BAC=120°，AE=3，则BC的长是 ．
14．（3分）如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的底角的度数 ．
15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
16．（3分）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： ．
三、解答题（共8道小题，共72分）
17．（8分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？
18．（8分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．
求证：AB∥DE．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．
（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度数；
（2）直接写出∠A与∠BFD的数量关系．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（?1，5），B（?1，0），C（?4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为?2）对称的图形△A1B1C1；
（2）线段BC上有一点P（? ， ），直接 写出点P关于直线m对称的点的坐标；
（3）线段BC上有一点M（a，b），直接写出点M关于直线m对称的点的坐标．
21．（8分）如图△ABC是等边三角形．
（1）请按要求完成图形，分别作∠ABC，∠ACB的平分线，交点为O；再分别作OB，OC的垂直平分线分别交BC于点D，E；
（2）在（1）的条件下，判断△ODE的形状，并证明你的结论．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图1，证明该结论；
（2）若将图2分割成三个全等的三角形，请你画出图形，并简单描述辅助线的作法．
23．（10分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且AD=BD=BC，求∠A的大小；
（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三等分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，请直接写出∠C所有可能的值．
24．（12分）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这 个性质是 ；
②在图2中，求证AD=CD；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．
2018-2019学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A不属于轴对称图形，故错误；
B不属于轴对称图形，故错误；
C不属于轴对称图形，故错误；
D属于轴对称图形，故正确；
故选：D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选D．
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1， ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
【解答】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误；
B、1+ ＜3，不能组成三角形，故本选项错误；
C、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项错误；
D、4+5＞6，能组成三角形，故本选项正确．
故选D．
4．（3分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
【解答】解：
A、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
B、根据∠A=∠E，∠B=∠D，AB=DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AB=DE，BC=EF，∠B=∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
故选A．
5．（3分）如图，聪聪书上的三角形被 墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选D．
7．（3分）如图，在△ABC中，A B=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°?70°×2=40°．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长?△EBC的周长=AB，
∴AB=40?24=16．
故选：C．
9．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（ ）
A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC
【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP．
根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，
根据对顶角相等知∠APB=∠EPD，
所以∠APB=∠DPC．
故选D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如图所示：
当AB=AC时，符合条件的点有3个；
当BA=BC时，符合条件的点有3个；
当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故符合条件的点C共有7个．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），则点P的坐标是 （2，?1） ．
【解答】解：点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），则点P的坐标是（2，?1），
故答案为：（2，?1）．
12．（3分）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3的度数是 20° ．
【解答】解：由题意得：∠4=∠2=40°；
由三角形外角的性质得：∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4?∠1=40°?20°=20°，
故答案为：20°．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于点E，∠BAC=120°，AE=3，则BC的长是 9 ．
【解答】解：过点A作AF⊥BC交BC于F，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，BC=2BF，
在Rt△BAE中，
AB=AE•cot30°=3× =3 ，
在Rt△AF B中，
BF=AB•cos30°=3 × = ，
∴BC=2BF=2× =9，
故答案为：9．
14．（3分）如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的底角的度数 15°或75° ．
【解答】解：解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；
（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，
底角为15°．
故答案为：15°或75°．
15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是 1cm＜AD＜3cm ．
【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
∵ ，
∴△ADC≌ △EDB，
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系定理：4cm?2cm＜AE＜4cm+2cm，
∴1cm＜AD＜3cm，
故答案为：1cm＜AD＜3cm．
16．（3分）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于该等边三角形的高 ．
【解答】解：由图可知，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高．
三、解答题（共8道小题，共72分）
17．（8分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴（n?2）•180°=2×360°，
解得：n=6．
故这个多边形是六边形．
18．（8分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，AB= DE，AC=DF．
求证：AB∥DE．
【解答】证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．
（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度数；
（2）直接写出∠A与∠BFD的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=180°?40 °?60°=80°，
∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠ACB=20°+40°=60°．
（2）∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）= （180°?∠A）=90°? ∠A．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（?1，5），B（?1，0），C（?4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为?2）对称的图形△A1B1C1；
（2）线段BC上有一点P（? ， ），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标；
（3）线段BC上有一点M（a，b），直接写出点M关于直线m对称的点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）线段BC上有一点P（? ， ），点P关于直线m对称的点的坐标是（? ， ），
（3）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m对称的点的坐标是（?4?a，b）．
21．（8分）如图△ABC是等边三角形．
（1）请按要求完成图形，分别作∠ABC，∠ACB的平分线，交点为O；再分别作OB，OC的垂直平分线分别交BC于点D，E；
（2）在（1）的条件下，判断△ODE的形状，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图，
（2）△ODE为等边三角形．
理由如下：
∵△ABC是等边三角形．
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠AC B，
∴∠OBC= ∠ABC=30°，∠OCB= ∠ACB=30°，
∵OB，OC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DB=DO，EC=EO，
∴∠ODB=∠DBO=30°，∠EOC=∠ECO=30°，
∴∠ODE=∠ODB+∠DBO=60°，∠OED=∠EOC+∠ECO=60°，
∴△ODE为等边三角形．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图1，证明该结论；
（2）若将图2分割成三个全等的三角形，请你画出图形，并简单描述辅助线的作法．
【解答】解：（1）证法一：如答 图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD= AB，即BC= AB．
证法二：如答图所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD= AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB= AB，即BC= AB．
证法三：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°?∠DCB=90°?60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA= AB，
∴BC= AB．
证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，
连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30 °=60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=DA= AB，即BC= AB．
（2）如图2，作∠ACB平分线交AC于点D，作DE⊥AB于点E，
则△ADE≌△BDE≌△BDC
由作图知∠DBC=∠DBE=∠A=30°，∠AED=∠BED=∠C=90°，
∴AD=BD，
∴AE=BE= AB，
又∵ BC= AB，
∴AE=BE=BC，
在△ADE、△BDE、△BDC中，
∵ ，
∴△ADE≌△BDE≌△BDC．
23．（10分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且AD=BD=BC，求∠A的大小；
（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三等分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，请直接写出∠C所有可能的值．
【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C= ，
可得2x= ，
解得：x=36°，
则∠A=36°；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
①当AD=AE时，
∵2x+x=30°+30°，
∴x=20°；
②当AD=DE时，
∵30°+30°+2x+x=180°，
∴x=40°；
综上所述，∠C为20°或40°的角．
24．（12分）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这个性质是 角平分线上的点到角的两边距离相等 ；
②在图2中，求证AD=CD；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．
【解答】解：（1）①根据角平分线的性质定理可知AD=CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为角平分线上的点到角的两边距离相等．
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE=DF，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠C，∵∠E=∠DFC=90°，
∴△DEA≌△DFC，
∴DA=DC．
（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK= ∠ABC=20°，
∵BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=80°，
∵∠BKD=∠C+∠KDC，
∴∠KDC=∠C=40°，
∴DK=CK，
∵BD=BD，BA=BT，∠DBA=∠DBT，
∴△DBA≌△DBT，
∴AD=DT，∠A=∠BTD=100°，
∴∠DTK=∠DKT=80°，
∴DT=DK=CK，
∴BD+AD=BK+CK=BC．