逍遥学能 2018-10-06 17:14
【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则 ，即b2=ac.
2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（ ）
A.120 B.240 C.320 D.480
【答案】C
【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.
∴a5+a6= =320.
3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
【答案】C
【解析】∵an=
要使{an}成等比，则3+a=2•31-1=2•30=2,即a=-1.
4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（ ）
A.［ ，2) B.［ ，2］
C.［ ，1) D.［ ，1］
【答案】C
【解析】因f(n+1)=f(1)•f(n),则an+1=a1•an= an，
∴数列{an}是以 为首项，公比为 的等比数列.
∴an=( )n.
Sn= =1-( )n.
∵n∈N*,∴ ≤Sn＜1.
5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则 的值是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵a3=a2+a1,
∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).
∴ .
6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40•a50•a60的值为( )
A.32 B.64 C.±64 D.256
【答案】B
【解析】因a1•a99=16,故a502=16,a50=4,a40•a50•a60=a503=64.
7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )
A.（S•S′ B.
C.( )n D.
【答案】B
【解析】设等比数列的首项为a1,公比q（q≠1）
则P=a1•a2•…•an=a1n• ,
S=a1+a2+…+an= ,
S′= +…+ ,
∴ =(a12qn-1 =a1n =P,
当q=1时和成立.
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.
【答案】384
【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.
知a1=3,q=2,故a8=a1•q7=3×27=384.
9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= Sn(n≥1),则an=
【答案】( )R
226;（ ）n-2
【解析】∵an+1= Sn,
∴an= Sn-1(n≥2).
①-②得,an+1-an= an,
∴ (n≥2).
∵a2= S1= ×1= ,
∴当n≥2时，an= •（ ）n-2.
10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.
①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列 ③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列 ④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列 ⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列
【答案】②④
【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；
④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.
三、解答题（11?13题每小题10分，14题13分，共?43分）
11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,
(1)求证数列{bn}也是等比数列；
（2）已知q＞1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.
(1)证明：∵ =q,
∴ 为常数，则{bn}是等比数列.
(2)【解析】Sn=a1+a2+…+an
= ,
Sn′=b1+b2+…+bn
= ,
当Sn＞Sn′时，
.
又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0,
∴ ,即qn＞q7,
∴n＞7,即n＞7(n∈N*)时，Sn＞Sn′.
12.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此数列是首项为1，公比为 的等比数列.
(1)求数列{an}的通项；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)由已知得an-an-1=( )n-1(n≥2),a=1,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
= ［1-( )n］.
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
= - ［ +( )2+…+( )n］
= - ［1-( )n］
= ×( )n.
13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.
(1)求数列{cn}的前n项和Sn.
(2)是否存在n∈N*,使得 成立？请说明理由.
【解析】(1)由已知得
∴an=a1qn-1=2n.
∴cn=11-log2a2n=11-log222n
=11-2n.
Sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.
(2)假设存在n∈N*,使得 即 .
∴22n+3×2n-3＜0,解得 .
∵ =1,而2n≥2,
故不存在n∈N*满足 .
14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.
(1)设an=|xn- |,证明：an+1＜an;
(2)设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜ .
证明：（1）an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= .
∵xn＞0,
∴an+1＜( -1)|xn- |＜|xn- |=an,
故an+1＜an.
(2)由（1）的证明过程可知
an+1＜( -1)|xn- |
＜( -1)2|xn-1- |
＜…＜( -1)n|x1- |=( -1)n+1
∴Sn=a1+a2+…+an＜|x1- |+( -1)2+…+( -1)n
=( -1)+( -1)2+…+( -1)n
= ［1-( -1)n］＜ .
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“教育消费占首位”值得警惕
最近，中国社会科学院发布的《2010年社会蓝皮书》显示，子女教育费用在居民总消费中排第一位，超过养老和住房.中国社科院社会学研究所研究员李培林在报告中认为“这并不是很正常的”.
我国现有的人均GDP只有1 000美元，仍处于发展中国家的经济水平.在此情况下，教育费用占民民总消费第一位的状况，必然会挤占居民养老、住房、医疗等方面的费用开支.也就是说，教育费用居高不下，将直接影响到社会居民的医疗、养老等生命质量与日常生活
水平的起码问题.由于我国现有老年人口已达总人口的10%（有的城市已超过此比例），且还有上升趋势，如果现在仍对教育费用居高不下的状况无动于衷，那么可以预见，在不久的将来，社会必将对养老、医疗等社会问题付出巨大代价.还有，从我国人口文化素质与社会的发展要求看，现有的教育水平不是高了，而是还需要在大发展.如果按现有的教育水准收，势必意味着我国必须为教育付出更多费用.
所以笔者觉得，教育费用占居民总消费第一位的社会现象，不仅对每个家庭，对教育自身的健康发展，同时对社会以后的健康发展，同时对社会以后的正常发展，都是一个亟待重视与解决的社会公共命题.