逍遥学能 2018-09-29 08:31
北师大版七年级下册数学第五章生活中的轴对称单元测试题
一．选择题（共 10 小题）
1．如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C、D，则下列结论 错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
2．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，EC=4，△ABC
的周长为 23，则△ABD 的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
3．如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，△ABC 的周长为 19cm，△ABD 的周长 为 13cm，则 AE 的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
4．如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
ACE 的平 分线相交于点 D，则∠D 的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
6．一个等腰三角形一边长为 4cm，另一边长为 5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13cm B．14cm C．13cm 或 14cm D．以上都不对
7．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A′处，点 B 落在点
B′处，若∠2=40°，则图中∠1 的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．140°
9．如图，D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°， 则β的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．不能确定
10．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1 与∠2 之间的关系是（ ）
A．∠1=2∠2 B．3∠1?∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°
二．填空题（共 10 小题）
11．如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC⊥OB 于点 C，且 PC=3，点 P 到 OA 的距离为 ．
第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
13．如图，在△ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接
AD，若 AD=4，则 DC= ．
14．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=7，DE=2，AB=4， 则 AC 的长是 ．
15．如图所示，已知△ABC 的周长是 20，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于
D，且 OD=3，则△ABC 的面积是 ．
16．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．已知 BD：CD=3：2，点
D 到 AB 的距离是 6，则 BC 的长是 ．
17．如图，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连结 DC，如 果 AD=3，BD=8，那么△ADC 的周长为 ．
18．如图，∠AOB 是一角度为 10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：
EF、FG、GH…，且 OE=EF=FG=GH…，在 OA、OB 足够长的情况下，最多能添加这样的 钢管的根数为 ．
19．已知：如图，△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过 O 点的直线 分别交 AB、AC 于点 D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，则△ADE 的周长为 ．
20．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分别找一点 M、
N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为 ． 三．解答题（共 10 小题）
21．如图，在△ABC 中，∠ACB=90 ?，BE 平分∠ABC，交 AC 于 E，DE 垂直平分 AB 于
D，求证：BE+DE=AC．
22．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF 分别垂直 AB、AC 于 点 E 和 F．求证：DE=DF．
23．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，求∠BDC 的度数．
24．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AE⊥BE 于点 E，且 BE= ． 求证：AB 平分∠EAD．
25．如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，延长 BC 到 E，使得 CE=CD． 求证：BD=DE．
26．如图，在△ABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，交 AB 于 M、N 两点，DM 与
EN 相交于点 F．
（1）若△CMN 的周长为 15cm，求 AB 的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN 的度数．
27．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，且 AC=15cm，
△BCE 的周长等于 25cm．
（1）求 BC 的长；（2）若∠A=36°，并且 AB=AC．求证：BC=BE
28．已知点 D、E 在△ABC 的 BC 边上，AD=AE，BD=CE，为了判断∠B 与∠C 的大小关 系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内，注明推理的根据．
解：作 AM⊥BC，垂足为 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是 三角形，
∴DM=EM （ ） 又∵BD=CE，
∴BD+DM= ，即 BM= ； 又∵ （自己所作），
∴AM 是线段 的垂直平分线；
∴AB=AC （ ）
∴ ．
29．电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇 A、B 的距 离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等．请在图中作出发射塔 P 的位置．（尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹）
30．以点 A 为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图 1 所示放置，使得一直 角边重合，连接 BD，CE．
（1）说明 BD=CE；
（2）延长 BD，交 CE 于点 F，求∠BFC 的度数；
（3）若如图 2 放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
北师大版七年级下册数学第五章生活中的轴对称单元测
试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．（2018•怀化）如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C、D， 则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【分析】先根据角平分线的性质得出 PC=PD，再利用 HL 证明△OCP≌△ODP，根据全等 三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
【解答】解：∵OP 为∠AOB 的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C、D，
∴PC=PD，故 A 正确；
在 Rt△OCP 与 Rt△ODP 中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故 C、D 正确． 不能得出∠CPD=∠DOP，故 B 错误．
故选 B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了 全等三角形的判定与性质，得出 PC=PD 是解题的关键．
2．（2018•天门）如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，EC=4，
△ABC 的周长为 23，则△ABD 的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD=DC，AE=CE=4，求出 AC=8，AB+BC=15，求 出△ABD 的周长为 AB+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，
∴AD=DC，AE=CE=4， 即 AC=8，
∵△ABC 的周长为 23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23?8=15，
∴△ABD 的周长为 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15， 故选 B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是 解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
3．（2018•恩施州）如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，△ABC 的周长为 19cm，
△ABD 的周长为 13cm，则 AE 的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD=DC，AE=CE= AC，求出 AB+BC+AC=19cm，
AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出 AC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=CE= AC，
∵△ABC 的周长为 19cm，△ABD 的周长为 13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，
∴AE=3cm， 故选 A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是 解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
4．（2018•黄石）如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，∠A=50°，则∠BDC=
（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A， 根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵DE 是线段 AC 的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分
线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2018•枣庄）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC
与∠ACE 的平分线相交于点 D，则∠D 的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠
2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则 2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D= ∠A，然 后把∠A 的度数代入计算即可．
【解答】解：∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D= ∠A= ×30°=15°． 故选 A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是 180°和三角形外角性质 进行分析．
6．（2018•湘西州）一个等腰三角形一边长为 4cm，另一边长为 5cm，那么这个等腰三角形 的周长是（ ）
A．13cmB．14cm C．13cm 或 14cm D．以上都不对
【分析】分 4cm 为等腰三角形的腰和 5cm 为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系， 再求出周长．
【解答】解：当 4cm 为等腰三角形的腰时， 三角形的三边分别是 4cm，4cm，5cm 符合三角形的三边关系，
∴周长为 13cm；
当 5cm 为等腰三角形的腰时， 三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，
∴周长为 14cm， 故选 C
【点评】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 分类考虑是解本题的关键．
7．（2018•泸州）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：A，B，D 是轴对称图形，C 不是轴对称图形， 故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合．
8．（2018•聊城）如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A′
处，点 B 落在点 B′处，若∠2=40°，则图中∠1 的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内 角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可．
【解答】解：∵把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A′处，点 B
落在点 B′处，
∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，
∵∠2=40°，
∴∠CFB'=50°，
∴∠1+∠EFB'?∠CFB'=180°， 即∠1+∠1?50°=180°， 解得：∠1=115°，
故选 A．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性 质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．
9．（2018•庄河市自主招生）如图，D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点，AB=AD，记∠CAD=α，
∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．不能确定
【分析】根据 AB=AD，可得出∠B=∠ADB，再由∠ADB=α+∠C，可得出∠C=β?10°，再 根据三角形的内角和定理得出β即可．
【解答】解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵α=10°，∠ADB=α+∠C，
∴∠C=β?10°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°， 即β+β?10°=90°， 解得β=50°，
故选 B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基 础知识要熟练掌握．
10．（2018•孝感模拟）如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1 与∠2 之间的关系是（ ）
A．∠1=2∠2 B．3∠1?∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°
【分析】由已知条件∠B=∠C，∠1=∠3，在△ABD 中，由∠1+∠B+∠3=180°，可推出结论．
【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，
∴2∠1+∠C=180°，
∴2∠1+∠1?∠2=180°，
∴3∠1?∠2=180°． 故选 B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质的应用．
二．填空题（共 10 小题）
11．（2018•常德）如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC⊥OB 于点 C，且 PC=3，点 P 到 OA
的距离为 3 ．
【分析】过 P 作 PD⊥OA 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PD=PC， 从而得解．
【解答】解：如图，过 P 作 PD⊥OA 于 D，
∵OP 为∠AOB 的平分线，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3． 故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
12．（2018•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48°，则该等腰三角形的底角的 度数为 69°或 21° ．
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角 形内角和定理即可求出底角的度数．
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图 1 所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°?48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （180°?42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图 2 所示： 同①可得：∠DAB=90°?48°=42°，
∴∠BAC=180°?42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （180°?138°）=21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为 69°或 21°． 故答案为：69°或 21°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用， 避免漏解．
13．（2018•牡丹江）如图，在△ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交
BC 于点 D，连接 AD，若 AD=4，则 DC= 5 ．
【分析】过 A 作 AF⊥BC 于 F，根据等腰三角形的性质得到 BF=CF= BC，由 AB 的垂直 平分线交 AB 于点 E，得到 BD=AD=4，设 DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：过 A 作 AF⊥BC 于 F，
∵AB=AC，
∴BF=CF= BC，
∵AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，
∴BD=AD=4， 设 DF=x，
∴BF=4+x，
∵AF2=AB2?BF2=AD2?DF2， 即 16?x2=36?（4+x）2，
∴x=0.5，
∴DF=0.5，
∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握 转化思想与数形结合思想的应用．
14．（2018•营口模拟）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=7，
DE=2，AB=4，则 AC 的长是 3 ．
【分析】过点 D 作 DF⊥AC 于 F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=DF， 再根据 S△ABC=S△ABD+S△ACD 列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
×4×2+ ×AC×2=7， 解得 AC=3．
故答案为 3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（2018•邯郸二模）如图所示，已知△ABC 的周长是 20，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠
ACB，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，则△ABC 的面积是 30 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点 O 到 AB、AC、BC 的距离都相 等（即 OE=OD=OF），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以 3，代入求出即可．
【解答】解：如图，连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
∵OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC 的周长是 22，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3
= 20×3=30， 故答案为：30．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与
周长的关系是解题的关键．
16．（2018•白云区校级二模）如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．已 知 BD：CD=3：2，点 D 到 AB 的距离是 6，则 BC 的长是 15 ．
【分析】作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质得到 CD=DE，根据题意求出 BD 的长，计 算即可．
【解答】解：作 DE⊥AB 于 E，
∵AD 平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，又 BD：CD=3：2，
∴BD=9，
∴BC=BD+DC=15， 故答案为：15．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解 题的关键．
17．（2018•句容市一模）如图，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，BC 的垂直平分线交 AB 于 点 D，连结 DC，如果 AD=3，BD=8，那么△ADC 的周长为 19 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据三角形内角和定理和等腰三角形的 性质证明 CA=CD=DB=8，根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠B=40°，
∵∠A=80°，∠B=40°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=20°，
∴∠ADC=80°，
∴CA=CD=DB=8，
∴△ADC 的周长=AD+AC+CD=19， 故答案为：19．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质， 掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2018•河北模拟）如图，∠AOB 是一角度为 10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内 部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且 OE=EF=FG=GH…，在 OA、OB 足够长的情况下，
最多能添加这样的钢管的根数为 8 ．
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据 规律及三角形的内角和定理不难求解．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与 OE 相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的 底角是 10°，第二个是 20°，第三个是 30°，四个是 40°，五个是 50°，六个是 60°，七个是 70°， 八个是 80°，九个是 90°就不存在了．所以一共有 8 个．
故答案为 8．
【点评】此题考查了三角形的内角和是 180 度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性 质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
19．（2018•淮安一模）已知：如图，△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分 线，过 O 点的直线分别交 AB、AC 于点 D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，则△
ADE 的周长为 14cm ．
【分析】两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△OBD、△EOC 均为等 腰三角形，由此把△AEF 的周长转化为 AC+AB．
【解答】解：∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO 是∠ABC 的角平分线，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD， 同理：OE=EC，
∴△ADE 的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm． 故答案是：14cm．
【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明△OBD、△EOC
均为等腰三角形是关键．
20．（2018•广东校级一模）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在 BC、
CD 上分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为 100° ．
【分析】作点 A 关于 BC 的对称点 A′，关于 CD 的对称点 A″，根据轴对称确定最短路线问
题，连接 A′A″与 BC、CD 的交点即为所求的点 M、N，利用三角形的内角和定理列式求出
∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【解答】解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A′，关于 CD 的对称点 A″， 连接 A′A″与 BC、CD 的交点即为所求的点 M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°?∠130°=50°， 由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案为：100°．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角 形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点 M、N 的位置是解题的关 键，要注意整体思想的利用．
三．解答题（共 10 小题）
21．（2018•历下区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90 ?，BE 平分∠ABC，交 AC 于 E，
DE 垂直平分 AB 于 D， 求证：BE+DE=AC．
【分析】根据角平分线性质得出 CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出 AE=BE，代入
AC=AE+CE 求出即可．
【解答】证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵ED⊥AB，BE 平分∠ABC，
∴CE=DE，
∵DE 垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∵AC=AE+CE，
∴BE+DE=AC．
【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上 的点到线段两个端点的距离相等．
22．（2018•历下区一模）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF
分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F． 求证：DE=DF．
【分析】D 是 BC 的中点，那么 AD 就是等腰三角形 ABC 底边上的中线，根据等腰三角形 三线合一的特性，可知道 AD 也是∠BAC 的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离 相等，那么 DE=DF．
【解答】证明： 证法一：连接 AD．
∵AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点
∴AD 平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F．
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 证法二：在△ABC 中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角） …（1 分）
∵点 D 是 BC 边上的中点
∴BD=DC …（2 分）
∵DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F
∴∠BED=∠CFD=90°…（3 分） 在△BED 和△CFD 中
∵ ，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合 一的性质是解答本题的关键．
23．（2018•长春二模）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线， 求∠BDC 的度数．
【分析】首先由 AB=AC，利用等边对等角和∠A 的度数求出∠ABC 和∠C 的度数，然后由 BD 是∠ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC 的度数，再根据三角形的内角和 定理即可求出∠BDC 的度数．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C= =70°，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠DBC= ∠ABC=35°，
∴∠BDC=180°?∠DBC?∠C=75°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答 本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC 与∠C 的度数．
24．（2018•西城区一模）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AE⊥BE
于点 E，且 BE= ． 求证：AB 平分∠EAD．
【分析】根据等腰三角形的性质得到 BD= BC，AD⊥BC 根据角平分线的判定定理即可得 到结论．．
【解答】证明：∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴BD= BC，AD⊥BC，
∵BE= BC，
∴BD=BE，
∵AE⊥BE，
∴AB 平分∠EAD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解 题的关键．
25．（2018•门头沟区一模）如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，延长 BC 到 E， 使得 CE=CD．
求证：BD=DE．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关 系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到 DB=DE．
【解答】证明：∵△ABC 是等边三角形，BD 是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三
角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．
26．（2018 春•吉州区期末）如图，在△ABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，交 AB
于 M、N 两点，DM 与 EN 相交于点 F．
（1）若△CMN 的周长为 15cm，求 AB 的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN 的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AM=CM，BN=CN， 然后求出△CMN 的周长=AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等 角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN 的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN 的周长为 15cm，
∴AB=15cm；
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°?70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°?∠AMD+90°?∠BNE=180°?110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°?2（∠A+∠B）=180°?2×70°=40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的 性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．
27．（2018 春•滕州市期末）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交
AC 于点 E，且 AC=15cm，△BCE 的周长等于 25cm．
（1）求 BC 的长；
（2）若∠A=36°，并且 AB=AC．求证：BC=BE．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AE=BE，然后求出
△BCE 的周长=AC+BC，再求解即可；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠C=72°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等可得 AE=BE，根据等边对等角可得∠ABE=∠A，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，从而得到∠BEC=∠C，然后根据等角对等边求解．
【解答】（1）解：∵AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，
∴AE=BE，
∴△BCE 的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵AC=15cm，
∴BC=25?15=10cm；
（2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C= （180°?∠A）= （180°?36°）=72°，
∵AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A，
由三角形的外角性质得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BC=BE．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，综合题难度不大，熟记各 性质并准确识图是解题的关键．
28．（2018 春•衡阳县校级期末）已知点 D、E 在△ABC 的 BC 边上，AD=AE，BD=CE，为 了判断∠B 与∠C 的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内，注明推理
的根据．
解：作 AM⊥BC，垂足为 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是 等腰 三角形，
∴DM=EM （ 等腰三角形底边上的高也是底边上的中线 ） 又∵BD=CE，
∴BD+DM= CE+EM ，即 BM= CM ； 又∵ AM⊥BC （自己所作），
∴AM 是线段 BC 的垂直平分线；
∴AB=AC （ 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ）
∴ ∠B=∠C ．
【分析】首先根据等腰三角形的性质，得 DM=EM，结合已知条件，根据等式的性质，得 BM=CM，从而根据线段垂直平分线的性质，得 AB=AC，再根据等腰三角形的性质即可证 明．
【解答】解：作 AM⊥BC，垂足为 M
∵AD=AE，
∴△ADE 是等腰三角形，
∴DM=EM （等腰三角形底边上的高也是底边上的中线） 又∵BD=CE，
∴BD+DM=CE+EM，即 BM=CM； 又∵AM⊥BC（自己所作），
∴AM 是线段 BC 的垂直平分线；
∴AB=AC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴∠B=∠C．
故答案为：等腰，等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，CE+EM，CM，AM⊥BC，BC， 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，∠B=∠C．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质．等腰三角形底边上的 高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；等腰三角形的两个底角相等．
29．（2018 秋•西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求， 发射塔 P 到两城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等．请
在图中作出发射塔 P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据题意，P 点既在线段 AB 的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故 两线交点即为发射塔 P 的位置．
【解答】解：设两条公路相交于 O 点．P 为线段 AB 的垂直平分线与∠MON 的平分线交点
或是与∠QON 的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即 P、P′．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题．
30．（2018 春•长清区期末）以点 A 为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如 图 1 所示放置，使得一直角边重合，连接 BD，CE．
（1）说明 BD=CE；
（2）延长 BD，交 CE 于点 F，求∠BFC 的度数；
（3）若如图 2 放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到 AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利 用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则 BD=CE；
（2）由△ADB≌△AEC 得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°
?∠ACE?∠CDF=180°?∠DBA?∠BDA=∠DAB=90°；
（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到 BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内 角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．
【解答】解：（1）∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，
∵在△ADB 和△AEC 中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE=∠ABD，
而在△CDF 中，∠BFC=180°?∠ACE?∠CDF
又∵∠CDF=∠BDA
∴∠BFC=180°?∠DBA?∠BDA
=∠DAB
=90°；
（3）BD=CE 成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ADB 和△AEC 中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，
∴∠BFC=∠CAB=90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、
“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质．