逍遥学能 2014-04-30 10:18
期末测试题
（本试卷满分120分，时间：120分钟）
一、（每小题3分，共36分）
1.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.在反比例函数 的图象的每一条曲线上， 都随着 的增大而增大，则 的值可以是（ ）
A. B.0 C.1 D.2
3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且 ，则∠ （ ）
A.100° B.110° C.120° D.135°
4.如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（ ）
A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米
5.如图，⊙O的半径长为 10 c，弦AB＝16 c，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A.4 c B.5 c C.6 c D.7 c
6.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （ kPa ） 是气体体积V （ 3 ） 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（ ）
A.不小于 3 B.小于 3 C.不小于 3 D.小于 3
7.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
8.如图， 已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D是直线BC上一点，直线AD交⊙O于点E，AE=9，DE=3，则AB的长等于 （ ）
A.7 B. C. D.
9.如图，一只蚂蚁从 点出发，沿着扇形 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 ，蚂蚁绕一圈到 点的距离为 ，则 关于 的函数图象大致为（ ）
10.如图， 是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若 ，
则 PQ的值为（ ）
A. B. C. D.
11.抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
12.已知两个相似三角形的周长之和为24 c，一组对应边分别为2.5 c和3.5 c，
则较大三角形的周长为（ ）
A.10 c B.12 c C.14 c D.16 c
二、题（每小题3分，共30分）
13.若 ，则 =_____________．
14.如图，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=_________.
15.把抛物线 向左平移1个单位，然后向下平 移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________.
16.如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 （3，0），且对称轴为 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确结论的序号是___________.（把你认为正确的序号都写上）
17 .如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2 c，CD＝4 c．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是 c.
18.已知△ABC内接于⊙O，且 ，⊙O的半径等于6 c，O点到BC的距离OD等于
3 c，则AC的长为___________.
19.如图，四边形 为正方形，图（1）是以AB为直径画半圆，阴影部分面积记为 ，图（2）是以O为圆心，OA长为半径画弧，阴影部分面积记为 ，则 的大小关系为_________.
20.将一副三角板按 如图所示叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于_________.
21.如图所示的圆锥底面半径OA=2 c，高PO= c，一只蚂蚁由A点
出发绕侧面一周后回到A点处，则它爬行的最短路程为________.
22.双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y
轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积
为_________.
三、解答题（共54分）
23. （6分）一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2 k，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20 s，弯道有一块限 速警示牌，限速为40 k/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）
24．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交
BC于点D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC.
25.（6分）已知二次函数 的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）观察函数图象，要使该二次函数的图象与 轴只有一个交点，应把图象沿 轴向上
平移几个 单位？
26.（7分）已知抛物线 的部分图象如图所示.
（1）求 的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和 的最大值；
（3）写出当 时， 的取值范围.
27. （7分）如图，在△ABC中，AC=8 c，BC=16 c，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1 c/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2 c/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
28. （7 分）如图，点 是函数 （ ）图象上 的一动点，过点 分别作
轴、 轴的垂线，垂足分别为 ．
（1）当点 在曲线上运动时，四边形 的面积是否变化？若不变，请求出它的面积，若改变，请说明理由；
（2）若点 的坐标是（ ），试求四边形 对角线的交点 的坐标；
（3）若点 是四边形 对角线的交点，随着点 在曲线
上运动，点 也跟着运动，试写出 与 之间的关系．
29.（8分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量 （千克）随销售单价 （元/千克）的变化而变化，具体关系式为： ，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 （元），解答下列问题：
（1）求 与 的关系式；
（2）当 取何值时， 的值最大？
（3）如果公司想要在这段时间内获得2 250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
30. （7分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：
（1）求∠CAD的度数；
（2）设AD、BC相交于点E，AB、CD的延长线相交于点F，求∠AEC、∠AFC的度数；
（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积.
期末测试题参考答案
一、
1.A 解析:
2.D 解析:若 都随着 的增大而增大，则 ，解得 ，只有D选项符合.
3.C 解析: ∵ ，∴ ，∴ 弦 三等分半圆，∴ 弦 、 、 对的圆心角均为60°，∴ ∠ = ．
4.B 解析：圆锥的侧面积= ×1×2=2 （平方米）.
5.C 解析：如图，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 .∵ ⊥ ， c，
∴ c.在Rt△OBC中，OB=10 c，CB=8 c，则 ，故选C．
6.C 解析：设气球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（ ）之间的反比例
函数关系式为 ，∵ 点（1.6，60）为反比例函数图象上的点，∴ ， ．∴ ．
当p=120 kPa时，V= ．故为了安全起见，气体的体积应不小于 ．
7.B 解析: 由∠BAE=∠EAC， ∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△AEC; 由∠BAE=
∠BCE，∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△CED.共两个.
8.D 解析:如图，连接BE，因为 ，所以∠ABC=∠C.因为∠C=∠AEB，所
以 ∠AEB=∠ABC.又∠BAD=∠EAB，所以△BAD∽△EAB，所以 ，
所以 .又 ，所以 .
9.C 解析:蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离s不变，走另一条半径时，s随t的增大而减小，故选C．
10.C 解析：如图，连接AP、BQ．∵ AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，
∴ ∠APC=∠BQC=90°．设 ，在Rt△BCQ中， 同理，在Rt△APC中， ，
则 ，故选C．
11.B 解析：∵ 抛物线的对称轴为直线 ，而抛物线与 轴的一个交点的横坐标为1，∴ 抛物线与 轴的另一个交点的横坐标为 ，根据图象知道若 ，则 ，故选B．
12.C 解析:可知两个三角形的相似比等于 ，又周长之比等于相似比，所以设两个三角形的周长分别为 ，则 24，解得 ，所以较大三角形的周长为14 c，故选C.
二、题
13. 解析:设 ，∴ .
14.70° 解析：∵ ∠BDC=20°，∴ ∠A=20°.∵ AC为直径，∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠ACB=70°.
15.
16.①③ 解析:因为图象与 轴有两个交点，所以 ， ①正确:由图象可知开口向下，对称轴在 轴右侧，且与 轴的交点在 轴上方，所以 ，所以 ， ②不正确;由图象的对称轴为 ，所以 ，即 ，故 ， ③正确;由于当 时，对应的 值大于0，即 ，所以④不正确.所以正确的有①③.
17. 解析:如图，过点O作OF⊥AD，已知∠B=∠C=90°， ∠AOD=90°，
所以 .又 ，所以 .
在△ABO和△OCD中，
所以△ ≌△ .所以 = .根据勾股定理得 .
因为△AOD是等腰直角三角形，所以 ，即圆心O到弦AD的距离是 .
18. c或6 c 解析：分两种情况：
（1）假设∠BAC是锐角，则△ABC是锐角三角形，如图（1）.∵ AB=AC，∴ 点A是优弧BC的中点.∵ OD⊥BC且 ，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连接BO，
∵ ，∴ .
在Rt△ADB中， ，∴ (c)； （2）若∠BAC是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图（2），添加辅助线及求出 .
在Rt△ADB中， ，∴
c．
综上所述， c或6 c．
19. 解析：设正方形OBCA的边长是1，则 ，
，
，故 ．
20.1?3 解析：∵ ∠ABC=90°，∠DCB=90°，∴ AB∥CD，∴ △AOB∽△COD.又∵ AB?CD=BC?CD=1? ，
∴ △AOB与△DOC的面积之比等于1?3．
21. c 解析:圆锥的侧面展开图如图所示，设∠ ，
由OA=2 c，高PO= c，得PA=6 c，弧AA′=4 c，
则 ，解得 .作 ，由 ，
得∠ .
又 c，所以 ，所以 （c）.
22.2 解析:设直线AB与x轴交于D，则 ，所以 .
三、解答题
23.分析：先根据弧长公式计算出弯道的长度，再根据所用时间得出汽车的速度，再判断这辆汽车经过弯道时有没有超速．
解：∵ ，
∴ 汽车的速度为 （k/h），
∵ 60 k/h＞40 k/h，
∴ 这辆汽车经过弯道时超速．
24.证明:（1）因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC.
又因为AB=AC，所以D是BC的中点.
（2）因为AB为⊙O的直径， 所以∠AEB=90°.
因为∠ADB=90°，所以∠ADB=∠AEB.又∠C=∠C，所以△BEC∽△ADC.
25.解：（1）将点A（2，－3），B（－1，0）分别代入函数解析式，得
解得
所以二次函数解析式为 .
（2）由二次函数的顶点坐标公式，得顶点坐标为 ，作出函
数图象如图所示，可知要使该二次函数的图象与 轴只有一个交点，应
把图象沿 轴向上平移4个单位.
26.分析：已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
顶点式： （ 是常数， ），其中（ ）
为顶点坐标．本题还考查了二次函数的对称轴 ．
解：（1）由图象知此二次函数过点（1，0），（0，3），
将点的坐标代入函数解析式，得
解得 （2）由（1）得函数解析式为 ，
即为 ，
所以抛物线的对称轴为 的最大值为4.
（3）当 时，由 ，解得 ，
即函数图象与 轴的交点坐标为（ ），（1，0）.
所以当 时， 的取值范围为 ．
27.解：设经过t s△PQC和△ABC相似，由题意可知PA=t c，CQ=2t c.
（1）若PQ∥AB，则△PQC∽△ABC，
∴ ，∴ ，解得 .
（2）若 ，则△PQC∽△BAC，
∴ ，∴ ，解得 .
答: 经过4 s或 s△PQC和△ABC相似.
28.分析：（1）由题意知四边形 是矩形，所以 ，而点 是函数 （ ）上的一点，所以 ，即得 ，面积不变；
（2）由四边形 是矩形，而矩形对角线的交点是对角线的中点，所以由点 即可求得 的坐标；
（3）由（2）及点 的坐标（ ）可得点 的坐标，代入解析式即可得 与 之间的关系．
解：（1）由题意知四边形 是矩形，
∴ .
又∵ 点是函数 （ ）上的一点，
∴ ，即得 ，
∴ 四边形 的面积不变，为8. （2）∵ 四边形 是矩形，
∴ 对角线的交点是对角线的中点，即点 是 的中点.
∵ 点 的坐标是（ ），
∴ 点 的坐标为（ ）.
（3）由（2）知，点 是 的中点，
∵ 点 的坐标为（ ），
∴ 点 的坐标为（ ）.
又∵ 点 是函数 （ ）图象上的一点，
∴ 代入函数解析式得： ，即 .
29.分析：（1）因为 ，
故 与 的关系式为 ．
（2）用配方法化简函数关系式求出 的最大值即可．
（3）令 ，求出 的解即可．
解：（1） ，
∴ 与 的关系式为 ．
（2） ，
∴ 当 时， 的值最大．
（3）当 时，可得方程 .
解这个方程，得 .
根据题意， 不合题意，应舍去，
∴ 当销售单价为75元时，可获得销售利润2 250元．
30.分析：（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，由三角形内角和为180 即可
求得；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三角形的外角性质求出∠AEC、∠AFC；
（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，高OQ和弦AC的长，再
由扇形和三角形的面积相减即可．
解：（1）∵ 弧AC=弧AC，∴ ∠ADC=∠ABC=60°.
∵ AD是⊙O的直径，∴ ∠ACD=90°，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
.
（3）如图，连接OC，过点O作 ⊥ 于点Q，
∵ ∠ =30°， =3，
∴ .
由勾股定理得： ，
由垂径定理得： .
∵ ，
∴ 阴影部分的面积是 .