逍遥学能 2015-09-18 18:09
47、（2013•眉山压轴题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移 个单位后得到的抛物线的解析式．
考点：二次函数综合题
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：
①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；
②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；
③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．
（3）抛物线沿射线AD方向平移 个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．
解答：解：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（?3，0），C（0，?3）．
抛物线经过点A（1，0），B（?3，0），C（0，?3），则有：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x?3．
（2）存在．
△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：
①以点A为直角顶点．
如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．
∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，?1）．
设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，?1）的坐标代入得：
，
解得k=1，b=?1，
∴y=x?1．
将y=x?1代入抛物线解析式y=x2+2x?3得，x2+2x?3=x?1，
整理得：x2+x?2=0，
解得x=?2或x=1，
当x=?2时，y=x?1=?3，
∴P（?2，?3）；
②以点P为直角顶点．
此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．
过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；
因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．
∴P（?3，0）；
③以点E为直角顶点．
此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上．
综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（?2，?3）或（?3，0）．
（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x?3=（x+1）2?4．
抛物线沿射线AD方向平移 个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2?4+1=x2+4x+1．
点评：本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．
48、(2013河南省压轴题)如图，抛物线 与直线 交于 两点，其中点 在 轴上，点 的坐标为 。点 是 轴右侧的抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 的横坐标为 ，当 为何值时，以 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
（3）若存在点 ，使 ，请直接写出相应的点 的坐标
【解答】（1）∵直线 经过点 ,∴
∵抛物线 经过点 ，
∴
∴抛物线的解析式为
（2）∵点 的横坐标为 且在抛物线上
∴
∵ ∥ ，∴当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形
①当 时，
∴ ，解得：
即当 或 时，四边形 是平行四边形
②当 时，
，解得： （舍去）
即当 时，四边形 是平行四边形
（3）如图，当点 在 上方且 时，
作 ,则
△PF∽△CNF，∴
∴
∴
又∵ ∴
解得： ， （舍去） ∴ 。
同理可以求得：另外一点为
49、(2013年黄石压轴题)如图1所示，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线 经过 、 两点，点 是抛物线与 轴的另一个交点，当 时， 取最大值 .
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点 是直线 上一点，且 ABP ： BPC ，求点 的坐标；
（3）若直线 与（1）中所求的抛物线交于 、 两点，问:
①是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当 时， 的取值范围（不写过程，直接写结论）.
（参考公式：在平面直角坐标系中，若 ， ，则 ， 两点间的距离为 ）
解析：
解：（1）由题意得 解得
∴抛物线的解析式为 ∴ ，
∴直线 的解析式为 （2分）
（2）分两种情况：
①点 在线段 上时，过 作 轴，垂足为
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
②点 在线段 的延长线上时，过 作 轴，垂足为
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
综上所述， 或 （4分）
（3）①方法1：假设存在 的值，使直线 与（1）中所求的抛物线 交于 、 两点（ 在 的左侧），使得
由 得
∴ ，
∴ 即
∴ 或
∴存在 或 使得 （3分）
方法2：假设存在 的值，使直线 与（1）中所求的抛物线 交于 、 两点（ 在 轴上侧），使得 ，如图，过 作 于 ，过 作 于
可证明
∴ 即
∴ 即
以下过程同上
②当 时， （1分）
50、（压轴题5-6与二次函数相关的综合题•2013东营中考）(本题满分12分) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为
B（0，-1）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．
24. (本题满分12分)分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.
（2）设C点坐标为（x,y）,由题意可知 .过点C作 轴于点D,连接AB,AC.易证 ,根据对应线段成比例得出 的关系式 ，再根据点C在抛物线上得 ，联立两个关系式组成方程组，求出 的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．可得 ,故点H的坐标为（5,0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。
（3）根据 ,得 ，所以求 的最大值就是求N的最大值，而,N两点的横坐标相同，所以N就等于点N的纵坐标减去点的纵坐标,从而形成关于N长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。
解：(1) ∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为 .
由抛物线过B(0,-1) 得 ，∴ ．……………………2分
∴抛物线的解析式为 .
即 ．………………………………3分
(2)设C的坐标为(x，y).
∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．
∵ , ∴
∴ △AOB∽△CDA．………………………4分 ∴
∴OB•CD=OA•AD．
即1• =2(x-2).∴ =2x-4．
∵点C在第四象限.
∴ ………………………………5分
由 解得 ．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上.
∴点C的坐标为 (10,-16)．……………………6分
∵P为圆心，∴P为BC中点．
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
∴PH= (OB+CD)= ．……………………7分
∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, )．
故点P坐标为(5， )．…………………………8分
(3)设点N的坐标为 ，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点.
，
所以 ………………………9分
设直线BC的解析式为 ，直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16)
所以 成立，解得： …………………………10分
所以直线BC的解析式为 ，则点的坐标为.
N= = ………………………11分
= =
所以，当t=5时， 有最大值，最大值是 .…………………………12分
点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为 .(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.