江苏省南京市金陵中学高一第一学期期中考试数学试卷

金陵中学－学年度第一学期期中高一数学命题：一、(本大题共14小题，每小题分，共42分将答案填在)1． 已知集合P＝{}，集合Q＝{xx－3＞0}，则P∩Q＝ ▲ ．2． 函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是 ▲ ．3． 函数f(x)＝x2－2x＋3，x∈[0，3]的值域是 ▲ ．4． 函数f(x)＝log2(x)的单调区间是5． 计算：6． 若方程lgx＝4－2x0∈(k，k＋1)，其中k∈Z，则k的值为 ▲ ．7． 设幂函数的图象经过，)，则x的值8． 已知函数f(x)＝若f(a)＝－2，则a的值为 ▲ ．9． 设f(x)＝logax，其中a＞1，则f(2)，f()，f()由大到小排列为 ▲ ．10．函数y＝2的值域为 ▲ ．11(x)为定义在上的奇函数，当0时，(x)＝x2＋2x，则(－1)＝ ▲ ．12．已知函数(x)对于任意的x∈R，都满足(－x)＝f(x)，且对任意的a，b∈(－∞，0]，当ab时有0．若(m＋1)＜f(2)，则实数的取值范围是．13．函数(x)＝(2－)x－6在－，上取得最小值4，则实数的是．4．定义：函数(x)为定义域上单调函数，且存在区间a，b]?D(其中b)，使得a，b]上，(x)的取值范围恰为a，b]，称函数(x)是上的正函数函数g(x)－(m＞0)是，)上的正函数实数的取值范围二、解答题(本大题共6小题，共8分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤本题满分分(1)已知x＋x＝3，的值；(2)计算：(log43＋log83)?(log32＋log98)16．(本题满分10分设全集为R，集合{xx≤－3，或6}，{x2＜x＜7}．(1)求，RA)∩B；(2)设C＝{xm－3x≤3m－2}，若BC，求实数m的取值范围17．(本题满分8分设函数f(x)＝()，其中a为常数，且f(3)＝．(1)求a的值；(2)若f(x)≥4，求18．(本题满分分某房地产公司要在荒地ABCDE如图上划出一块长方形MNDG的地面修建一座公寓楼．问如何设计才能使公寓楼地面MNDG的面积最大，并求出最大的面积．9．(本题满分2分(x)＝2x＋－3在区间(0，＋)上的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…1475.335.115.0155.015.045.085.6778.612.14…(1)观察表中y值随x值变化趋势的特点，请你直接写出函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，＋)上的单调区间，并指出f(x)的最小值及此时(2)用单调性的定义证明函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，2]上的单调性；(3)设函数(x)＝2x＋－3在区间0，]上的最小值(a)，求(a)的表达式20．(本题满分0分已知函数(x)＝log2(4x＋1)，n(x)＝kx(k∈R)．(1)当x＞0时，F(x)＝m(x)．若F(x)为R上的奇函数，求x＜0时F(x)的表达式；(2)若f(x)＝m(x)＋n(x)是偶函数，求k的值；(3)对(2)中的函数f(x)，设函数g(x)＝log2(a?2x－a)，其中a＞0．若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．金陵中学－学年度第一学期期中高一数学一、(本大题共14小题，每小题分，共42分将答案填在)1．{x3＜x＜6} 2．(－，1] 3．2，6] 4．(1，＋) 5．π－3 6．1 7．2 8．－39．f()＞f()＞f(2) 10．[，＋∞) 11．－3 12．(－3，1) 13．4，42] 14．(0，)解答题(本大题共6小题，共8分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤本题满分分(1)已知x＋x＝3，的值；(2)求值：(log43＋log83)?(log32＋log98)【解析】(1)因为x＋x＝3，所以＋x)2＝32， ……2分＋2＝9所以x＋＝7． ……4分(2)(log43＋log83)?(log32＋log98)log23＋log23)?(log32＋log32) ……6＝log23?log32＝． ……8分6．(本题满分10分设全集为R，集合{xx≤－3，或6}，{x2＜x＜7}．(1)求，RA)∩B；(2)设C＝{xm－3x≤3m－2}，若BC，求实数m的取值范围【解析】(1)A∪B＝{xx≤－3，或＞2} ……2分?RA＝{x－3＜x＜6}， ……4分所以(?RA)∩B＝{x2＜x＜6}． ……5分(2)因为C＝{xm－3x≤3m－2}，B?C，所以． ……7分所以实数的取值范围3，5] ……10分17．(本题满分8分设函数f(x)＝()，a为常数，且f(3)＝．(1)求a值；(2)求使f(x)≥4的x值的取值范围．【解析】(1)由f(3)＝，即()＝， ……2分所以10－3a＝1，解得a＝3． ……4分(2)由已知()≥4＝()，所以10－3x2， ……6分解4，故f(x)≥4解集为{xx≥4}． ……8分18．(本题满分分某房地产公司要在荒地ABCDE如图上划出一块长方形MNDG的地面修建一座公寓楼．问如何设计才能使公寓楼地面MNDG的面积最大，并求出最大的面积．设长方形为MNDGMG＝x m，矩形MNDG的面积为S m2则N＝70＋－． ……2分于是S＝?MN＝－x2190x ……4分－(x)2＋，∈(60，80) ……6分当∈(60，80)时，S有最大值． ……8分答：只要使与AE平行的边长为m，公寓楼的地面面积达到最大为m2．……109．(本题满分2分(x)＝2x＋－3，x∈(0，＋)上的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…1475.335.115.0155.015.045.085.6778.612.14…(1)观察表中y值随x值变化趋势的特点，请你直接写出函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，＋)上的单调区间，并指出f(x)的最小值及此时(2)用单调性的定义证明函数f(x)＝2x＋－3在区间(0，2]上的单调性；(3)设函数(x)＝2x＋－3在区间0，]上的最小值(a)，求(a)的表达式1)由表中可知f(x)在(0，2]2，＋)为增函数， ……2分并且当x＝2时，f(x)min＝5． ……4分(2)证明：设0＜x1＜x2≤2，因为f(x1)－f(x2)＝2x1＋－3－(2x2＋－3)＝2(x1－x2)＋＝，……7分因为0＜x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，即1x2－4＜0．所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在(0，2] ……9分(3)由(2)可证：函数(x)＝2x＋－3在区间(0，]上单调递减，在2，＋)上递增①当0＜a＜2时，0，]?(0，]，所以函数(x)＝2x＋－3在区间(0，a]单调递减，(x)min＝f(a)＝2a＋－3； ……11分②当a≥2时，函数(x)＝2x＋－3在区间(0，]上单调递减，2，a]上单调递增，(x)min＝f(2)＝5；综上所述，函数(x)＝2x＋－3在区间0，]上的最小值g(a)＝ ……12分本题满分0分已知函数(x)＝log2(4x＋1)，n(x)＝kx(k∈R)．(1)当x＞0时，F(x)＝m(x)．若F(x)为R上的奇函数，求x＜0时F(x)的表达式；(2)若f(x)＝m(x)＋n(x)是偶函数，求k的值；(3)对(2)中的函数f(x)，设函数g(x)＝log2(a?2x－a)，其中a＞0．若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．【解析】(1)设x＜0，则－0，由于(x)为R上的奇函数，所以(x)＝－(－x)＝－log2(4＋1)，所以x0时，F(x)＝－log2(4＋1)； 2分2)因为f(x)＝log2(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立， 4分即log2(4＋1)－kx＝log2(4x＋1)＋kx恒成立，所以k＝－1 6分(3)由于a＞0，所以g(x)＝log2(a?2x－a)定义域为(log2，＋∞)，也就是满足2x＞．因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，所以方程log2(4x＋1)－x＝log2(a?2x－a)在(log2，＋∞)上只有一解，即方程＝a?2x－a在(log2，＋∞)上只有一解． 8分令2x＝t，，因而等价于关于t的方程(a－1)t2－at－1＝0 ，＋∞)上只有一解．①当a＝1时，解得t＝－，＋∞)，不合题意；②当0＜a＜1时，记h(t)＝(a－1)t2－at－1，其图象的对称轴t＝＜0．所以函数h(t)＝(a－1)t2－at－1在(0，＋∞)上递减，而h(0)＝－1所以方程(*)在(，＋∞)无解．③当a＞1时，记h(t)＝(a－1)t2－at－1，其图象的对称轴t＝＞0，所以只需h()＜0，即(a－1)－a－1＜0，此式恒成立．综上所述，所求a的取值范围为(1，＋∞)． 10分4第1页注　意　事　项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。本试卷满分100分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填在答题卡上。3．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。G100m60mBAMEDC70m80mNG100m60mBAMEDC70m80mN江苏省南京市金陵中学高一第一学期期中考试数学试卷
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