逍遥学能 2014-04-22 11:31
69、（2013•泰州）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3c，求图中阴影部分的面积．
考点：切线的判定；扇形面积的计算．
分析：（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；
（2）求出OP、DP长，分别求出△DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．
解答：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°?120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°?30°?60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3c，
∴OP=6c，由勾股定理得：DP=3 c，
∴图中阴影部分的面积S=S△ODP?S扇形DOB=×3×3 ? =（ ?π）c2
点评：本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
70、（2013•雅安）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
分析：（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD?S△BOD，即可求得答案．
解答：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF= ，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2 ，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S阴影=S扇形OBD?S△BOD= ?×2 ×1=π? ．
点评：此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
71、（2013福省福州20）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点，弦N∥BC交AB于点E，且E=1，A=2，AE=
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求 的长．
考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形．
分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AE中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；
其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON= = ；
最后，由弧长公式l= 计算 的长．
解答：（1）证明：如图，
∵E=1，A=2，AE= ，
∴E2+AE2=A2=4，
∴△AE是直角三角形，且∠AE=90°．
又∵N∥BC，
∴∠ABC=∠AE=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON．
在Rt△AE中，sinA= = ，
∴∠A=30°．
∵AB⊥N，
∴ = ，EN=E=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON= ，
∴ON= = ，
∴ 的长度是： • = ．
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
72、(2013年江西省)如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10c，雨刮杆AB长为48c，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）
（参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ， ≈26.851，可使用科学计算器）
【答案】解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180° ．
连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°
在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10，
∴sin∠OAE= = ，
∴OE=5 ，
∴AE=5.
∴EB=AE+AB=53，
在Rt△OEB中，
∵OE=5 ，EB=53，
∴OB= = =2 ≈53.70；
（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，
∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD，
∴雨刮杆AB扫过的最大面积S= π(OB2－OA2)
=1392π.
【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．
【解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）.
【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量.
【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积
73、(2013年临沂) 如图，在△ABC中，∠ACB= ， E为BC上一点，以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D，连接CD,若BE=OE=2.
（1）求证：∠A=2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号）.]
解析： (1)证明：连接OD.
∵AB与⊙O相切于点D , ∴ ，∴ .
∵ ,∴ ,∴
∵OC=OD, ∴ .∴
(2)方法一：在Rt△ODB中，OD=OE,OE=BE
∴
∴ ……6分
∵
∴
方法二：连接DE,在Rt△ODB中，∵BE=OE=2
∴ ,
∵OD=OE, ∴△DOE为等边三角形，即
74、（2013•新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
考点：切线的判定；扇形面积的计算．
分析：（1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可；
（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；
（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．
解答：（1）证明：如图，连接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠AOB=180°?∠ABO?∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，
∴AD=CD=4，
则根据勾股定理知AC= =4 ，即弦AC的长是4 ；
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4 ，则S△ABC=AD•AC=×4×4 =8 ．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S△AOC=S△ABC=4 ．
根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC= +4 = +4 ，即图中阴影部分的面积是 +4 ．
点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答（3）时，求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质．
75、（绵阳市2013年）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是 的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。
解（1）直线CD与⊙O相切。
证明：连结AC，OA=OC，
∠OAC=∠OCA，
AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，
∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD与⊙O相切。
（2）连结OE，， 点E是 的中点，
，∠DAC=∠ECA（相等的弧所对的圆周角相等），
∠DAC=∠OAC（（1）中已证），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，
四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，
OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，△OCE是等边三角形，
∠OCE=60⩝，∠OCD=90⩝，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90⩝-60⩝=30⩝，
AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= 12 CE = 12 ,DC=cos30⩝•CE= 32 ,
CE弧与CE弦所围成部分的面积 = AE弧与AE弦所围成部分的面积，
S阴影=S△DCE=12 •ED•DC=12 ×12 ×32 = 38 .
答：图中阴影部分的面积为38 。