逍遥学能 2014-04-17 12:28
46、（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线x=1对称B．函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是?4
C．?1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大
考点：二次函数的性质
分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．
解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；
B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，?4），又抛物线开口向上，所以函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是?4，正确，故本选项不符合题意；
C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（?1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则?1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；
D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当xx＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．
故选D．
点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．
47、(2013年深圳市)已知二次函数 的图像如图2所示，则一次函数 的大致图像可能是（ ）
答案：A
解析：由图象可知a＞0，－c＜0，因此a＞0，c＞0，选A。
（2013甘肃兰州4分、13）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b2?4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：A．正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2?4ac＞0；
B．正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；
C．正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；
D．错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴? ＞0．
故选D．
点评：主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
48、（2013甘肃兰州4分、3）二次函数y=2（x?1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（?1，3）C．（1，?3）D．（?1，?3）
考点：二次函数的性质．
分析：直接根据抛物线的顶点式的特点即可确定顶点坐标．
解答：解：∵y=2（x?1）2+3，
∴其顶点坐标是（1，3）．
故选A．
点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
49、（2013台湾、8）坐标平面上有一函数y=?3x2+12x?7的图形，其顶点坐标为何？（ ）
A．（2，5）B．（2，?19）C．（?2，5）D．（?2，?43）
考点：二次函数的性质．
分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可得解．
解答：解：∵y=?3x2+12x?7=?3（x2?4x+4）+12?7，
=?3（x?2）2+5，
∴函数的顶点坐标为（2，5）．
故选A．
点评：本题考查了二次函数的性质，把函数解析式转化为顶点式形式再确定顶点坐标更加简便．
50、（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为 ，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（ ）
A．16B．15C．14D．13
考点：二次函数综合题．
分析：根据在OB上的两个交点之间的距离为3 可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．
解答：解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=?x2+4x，
然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，
可平移6次，
所以，一共有7条抛物线，
同理可得开口向上的抛物线也有7条，
所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．
故选C．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，作出图形更形象直观．
51、（德阳市2013年）已知二次函数y=ax2＋bx＋c ( 0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＜0; ②b＜a＋c; ③4a＋2b+c>0
④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）
其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿＿
答案：①③④
解析：由图象可知，a＜0，c＞0， ＞0，所以，b＞0，因此，abc＜0，①正确；当x＝－1时，y＜0，所以，a－b＋c＜0，即b＞a＋c，所以，②错误；对于③，对称轴 ＝1，所以，b＝－2a，4a＋2b+c＝4a－4a＋c，③正确；对于④
④∵由①②知b＝－2a且b＞a+c，所以，2b＞2a＋2c，∴2c＜3b，④正确；
⑤∵x=1时，y=a+b+c（最大值），x＝m时，y＝am2+bm+c，
∵m≠1的实数，∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b）成立．∴⑤错误
选①③④
52、（绵阳市2013年）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程 ，则△ABC的周长是 10 。
［解析］△=(-3k )2-32≥0, 359 ≤k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，
△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+2≮4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。
53、（绵阳市2013年）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜ ；④3a+c＜2b。其中正确的结论是 ① ③ ④ （写出你认为正确的所有结论序号）.
［解析］抛物线开口向下，a <0, 2a<0,对称轴x= -b2a >1,-b<2a ,2a+b>0 ，①正确； -b<2a ,b>-2a>0>a ,令抛物线的解析式为y=- 12 x2 +bx- 12 ,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 12 和2，
则（12 +2）/2=-b/(- 12 ),b= 54 , 抛物线y=- 12 x2 + 54 x- 12 符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实a>c,a<c,a=c都有可能），②错误；-1＜m＜n＜1，-2<m+n<2,抛物线的对称轴为x= -b2a >1，-ba >2，m+n<-ba ，③正确； 当x=1时，a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,
3a+c>-2b, -3a-c<2b , a<0 , c<0 , b>0 ,
3a+c=-3a-c<2b=2b,④正确。
54、(2013年黄石)若关于 的函数 与 轴仅有一个公共点，则实数 的值为 .
答案： 或
解析：函数与x轴只有一个交点，有两个可能：（1）当k＝0时，是一次函数，符合；（2）当k≠0时，△＝4＋4k＝0，解得k＝－1，所以，k＝0或k＝－1。
55、(2013河南省)如图，抛物线的顶点为 与 轴交于点 ，若平移该抛物线使其顶点 沿直线移动到点 ，点 的对应点为 ，则抛物线上 段扫过的区域（阴影部分）的面积为
【解析】阴影部分 可认为是一个平行四边形，
过 作 ,则
∴阴影部分 的面积为
【答案】12
56、（2013•淮安）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 （0，1） ．
考点：二次函数的性质．3718684
分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解答：解：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
点评：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．
57、（2013•荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．
考点：抛物线与x轴的交点．3718684
分析：首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=? 时，y=0．且b2?4c=0，即b2=4c；
其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（? ?3，n），B（? +3，n）；
最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（? ?3）2+b（? ?3）+c= b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．
解答：解：∵抛物线y=x2+bx+cx轴只有一个交点，
∴当x=? 时，y=0．且b2?4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线x=? 对称，
∴A（? ?3，n），B（? +3，n）
将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（? ?3）2+b（? ?3）+c= b2+c+9
∵b2=4c，
∴n= ×4c+c+9=9．
故答案是：9．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2?4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2?4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2?4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2?4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
58、（2013年河北）如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）
在第13段抛物线C13上，则m =_________．
答案：2
解析：C1：y＝－x(x－3)（0≤x≤3）
C2：y＝（x－3）(x－6)（3≤x≤6）
C3：y＝－（x－6）(x－9)（6≤x≤9）
C4：y＝（x－9）(x－12)（9≤x≤12）
┉
C13：y＝－（x－36）(x－39)（36≤x≤39），当x＝37时，y＝2，所以，m＝2。
59、(2013年广东湛江)抛物线 的最小值是 ．
解析：主要考查学生对一些常见的数学结论的掌握， 即 ， 的最小值为1
60、（2013甘肃兰州4分、20）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ．
考点：二次函数的性质．
分析：根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
解答：解：由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立 消掉y得，
x2?2x+2k=0，
△=（?2）2?4×1×2k=0，
即k= 时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴点A的坐标为（ ， ），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时， ×4+k=0，
解得k=?2，
∴要使抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是?2＜k＜ ．
故答案为：?2＜k＜ ．
点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．
61、（13年北京4分10）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________
答案：y＝x2＋1
解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可。