逍遥学能 2014-03-31 11:30
一. 本周教学内容：圆的方程，空间两点的距离公式
教学目的：
1. 理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径；能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。
2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数讨论直线与圆的三种位置关系；能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。
3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标；掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。
二. 重点、难点
重点：
1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程；圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。
2. 直线和圆的位置关系的判断和应用；两圆位置关系的判断。
3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标；空间两点距离公式。
难点：
1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。
2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系；通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。
3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标；空间距离公式的推导。
分析：
（一）圆的标准方程
1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。
2. 圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为 ；
若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即
（二）圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
②
当 ）为圆心，以 时，方程①只有实数解 高中生物 ）；
当 时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）<0" > 和<1" > 的系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程 ；
（2）过圆 ；
（3）过圆
3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题
（1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。
（2）求切线方程。若已知切点M（x0，y0），则切线方程为
；
若已知切线上一点N（x0，y0），则可设切线方程为
（四）圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系问题
判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：
圆 的位置关系，其中
当 时，两圆外离；
当 时，两圆外切；
当 时，两圆相交；
当 时，两圆内含
注意：两圆的位置关系可表示在一条数轴上，如图所示：
两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。
2. 两圆相交问题
（1）过两已知圆
即 ，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。
（2）过直线与圆交点的圆系方程
设直线 相交，则方程l与圆C的两个交点的圆系方程。
（五）空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系
为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示．轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合。这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz。在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。
2. 点P的坐标
过点P作一个平面平行于平面yOz（这样构造的平面同样垂直于x轴），这个平面与x轴的交点记为P，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标，点P的z坐标吗？
3. 坐标平面
每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。
4. 特殊点的坐标形式
xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数；
xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；
yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；
x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。
5. 卦限
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。
在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y、z均为正数。
（六）空间两点的距离公式
空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距离公式是
特别的，点A（x，y，z）到原点的距离为
【典型例题】
例1. 求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C（3，4），半径是 ；
（3）
因为圆与坐标轴相切，故圆心满足 ，
又圆心在直线 ，
解方程组 ，得：
所以圆心坐标为（4，4），或（1，－1）
于是可得半径 或 。
（5）设圆心为（a,－2a）由题意，圆与直线
解得：a＝1
所以所求圆的圆心为（1，－2），半径为
故圆的方程为 ，则
解得
法二：因为圆过A（5，2），B（3，－2）两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为
解得
所求圆的方程为
又圆C与y轴相切得 ①
又圆心在直线 上， ②
圆心C（a，b）到直线 ③
联立①②③解方程组可得
或
将A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）三点的坐标代入圆的方程
得
点评：一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。
例5. 已知圆
由 消去y，得
即
（1）令
当 或 ，即 时，直线与圆相交
（3）令 或 或 ，即 ， 或 时，即 即 ，即
即 时直线与圆相离
点评：解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单。
例6. 已知直线 ，曲线 ，它们有两个公共点，求b的取值范围。
解析：法一，曲线C中，l和C有两个公共点，等价于方程组 有两组不同解，又等价于 ，有两组不同解，消去x得l有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解
于是
解得 表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示。当l与C有两交点，此时b＝1，记为 与半圆相切时，切线记为 ；当 与 之间时， 。
， 解析：法一
解方程组
得交点坐标分别为（0，2）（－4，0）
设所求圆心坐标为（a，－a）
则
解得
法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为（0，2），（－4，0）
设所求的圆的方程为
解得
法三，设所求圆的方程为
因为这个圆的圆心在直线 上
所以
圆的方程为1、点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（ ）
A. y轴上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限内
2、点M（2，－3，1）关于坐标原点的对称点是（ ）
A. （－2，3，－1） B. （－2，－3，－1）
C. （2，－3，－1） D. （－2，3，1）
3、设点B是点A（2，－3，5）关于xOy面的对称点，则AB等于（ ）
A. 10 B. D. 38
4、设有圆M： ，点P（2，1），那么（ ）
A. 点P在直线l上，但在圆M上
C. 点P在直线l上，也不在圆M上
5、设M是圆 上的点，则M到直线 的最小距离是（ ）
A. 9 B. 8 C. 5 D. 2
6、方程A.
C.
7、过点P（3，0）能有多少条直线与圆A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条
8、直线 被圆A. B. 2 C. D.
9、直线 所截得线段的中点坐标是（ ）
A. D. 10、若圆 关于直线 对称，那么直线 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
11、与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程是____________________
12、过点（0，0），（1，0），（0，2）的圆的方程是__________________________
13、若实数x ，y满足 ，则 ，则 的最大值为__________________
15、一圆过点P（－4，3），圆心在直线 相切，且和直线 ，求该圆的方程。
【答案】
1～10：C A A A D D A C A D
11、 13、 14、 ，
依题意，得：
解得：
所以所求圆的方程为
16、设此圆的方程为 ，
解得：
所以所求圆的方程是
或 或
17、设⊙P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为b，a，由题设知⊙P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知⊙P截x轴所得的弦长为 r，故2b＝ r，得：r2=2b2
又⊙P被y轴解得的弦长为2，由勾股定理得：r2＝a2＋1，得：2b2－a2＝1。
又因为P（a,b）到直线x－2y＝0的距离为 ，即有
解得： ，于是r2＝2b2＝2