逍遥学能 2014-03-24 10:08
考点：二次函数综合题
分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出△OPQ的高，进而利用三角形面积公式求出即可；
（3）根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为直角三角形；
（4）首先求出抛物线对称轴以及OB直线解析式和P的解析式，得出 （1?t）× =3?t?2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，，Q总在一条直线上，再利用2＜t≤3时，求出t的值，根据t的取值范围得出答案．
解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（6，0），B（3， ），C（1， ）三点坐标代入得：
，
解得： ，
即所求抛物线解析式为：y=? x2+ x+ ；
（2）如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，
∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4?t，
∴△OPQ的高为：OQ×sin60°=（4?t）× ，
又∵OP=2t，
∴S= ×2t×（4?t）× =? （t2?4t）（2≤t≤3）；
（3）根据题意得出：0≤t≤3，
当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ= ，
PQ= = ，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则OP2+PQ2=QO2，即4t2+3+（3t?3）2=3+（3?t）2，
解得：t1=1，t2=0（舍去），
若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OQP=90°，如图，3，则OQ2+PQ2=PO2，即（3?t）2+6+（3t?3）2=4t2，
解得：t=2，
当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时QP=2t＞4，
∠POQ=∠COP=60°，
OQ＜OC=2，
故△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形；
（4）由（1）可知，抛物线y=? x2+ x+ =? （x?2）2+ ，
其对称轴为x=2，
又∵OB的直线方程为y= x，
∴抛物线对称轴与OB交点为（2， ），
又∵P（2t，0）
设过P，的直线解析式为：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
即直线P的解析式为：y= x? ，
即 （1?t）y=x?2t，
又0≤t≤2时，Q（3?t， ），代入上式，得：
（1?t）× =3?t?2t，恒成立，
即0≤t≤2时，P，，Q总在一条直线上，
即在直线PQ上；
当2＜t≤3时，OQ=4?t，∠QOP=60°，
∴Q（ ， ），
代入上式得： × （1?t）= ?2t，
解得：t=2或t= （均不合题意，舍去）．
∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用分类讨论思想得出t的值是解题关键．
13、（2013•荆门压轴题）已知关于x的二次函数y=x2?2x+2+的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）
（1）当k=1，=0，1时，求AB的长；
（2）当k=1，为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
（3）当=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（平面内两点间的距离公式 ）．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）先将k=1，=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x2，直线的解析式为y=x+1，联立 ，得x2?x?1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=?1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB= AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB= ；同理，当k=1，=1时，AB= ；
（2）当k=1，为任何值时，联立 ，得x2?（2+1）x+2+?1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2+1，x1•x2=2+?1，同（1）可求出AB= ；
（3）当=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由 ，得A（?1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，联立 ，得x2?x?1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=? 1，同（1）求出AB= ，则AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；③当k为任意实数时，联立 ，得x2?kx?1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k，x1•x2=?1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2?k4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．
解答：解：（1）当k=1，=0时，如图．
由 得x2?x?1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=?1，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB= AC= x2?x1= = ；
同理，当k=1，=1时，AB= ；
（2）猜想：当k=1，为任何值时，AB的长不变，即AB= ．理由如下：
由 ，得x2?（2+1）x+2+?1=0，
∴x1+x2=2+1，x1•x2=2+?1，
∴AB= AC= x2?x1= = ；
（3）当=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由 ，得A（?1，1），B（1，1），
显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由 ，得x2?x?1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=?1，
∴AB= AC= x2?x1= = ，
∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）
=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由 ，得x2?kx?1=0，
∴x1+x2=k，x1•x2=?1，
∴AB2=（x1?x2）2+（y1?y2）2
=（x1?x2）2+（kx1?kx2）2
=（1+k2）（x1?x2）2
=（1+k2）[（x1+x2）2?4x1•x2]
=（1+k2）（4+k2）
=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2k •k+2
=k4+5k2+4，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想．
14、（2013•黔东南州压轴题）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB≤6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围．
解答：解：（1）∵抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2，
∴交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）．
设抛物线的解析式为y1=a（x?1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：
3=a（2?1）2+4，解得a=?1，
∴抛物线解析式为：y1=?（x?1）2+4=?x2+2x+3．
（2）令y1=0，即?x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=?1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（?1，0）．
在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：
根据图象，可知使得y1≥y2的x的取值范围为?1≤x≤2．
（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）．
令x=3，则y2=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．
设△PAB中，AB边上的高为h，则h=xP?xA=xP?3，
S△PAB=AB•h=×4×xP?3=2xP?3．
已知S△PAB≤6，2xP?3≤6，化简得：xP?3≤3，
去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：?3≤xP?3≤3，
解此不等式组，得：0≤xP≤6，
∴当S△PAB≤6时，点P的横坐标x的取值范围为0≤xP≤6．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式（组）等知识点．题目难度不大，失分点在于第（3）问，点P在线段AB的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏．
15、（13年北京7分23）在平面直角坐标系 O 中，抛物线
（ ）与 轴交于点A，其对称轴与 轴交于点B。
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；
（3）若该抛物线在 这一段位于直线的上方，并且在 这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。
解析：【解析】（1）当 时， .
∴
抛物线对称轴为
∴
（2）易得 点关于对称轴的对称点为
则直线 经过 、 .
没直线的解析式为
则 ，解得
∴直线的解析式为
（3）∵抛物线对称轴为
抛物体在 这一段与在 这一段关于对称轴对称
结合图象可以观察到抛物线在 这一段位于直线 的上方
在 这一段位于直线 的下方；
∴抛物线与直线 的交点横坐标为 ；
当 时，
则抛物线过点（-1，4）
当 时， ，
∴抛物线解析为 .
【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线 与直线
关于对称轴对称，
∵抛物线在 这一段位于直线 的下方，
∴关于对称轴对称后抛物线在 这一段位于直线 的下方；
再结合抛物线在 这一段位于直线 的上方;
从而抛物线必过点 .
考点：代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定）
16、(2013年深圳市压轴题)如图7-1，直线AB过点A（ ，0），B（0， ），且 （其中 >0， >0）。
（1） 为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图7-2，在（1）的条件下，函数 的图像与直线AB相交于C、D两点，若 ，求 的值。
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿 轴的正方向平移，如图7-3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间（秒）的函数关系式（0<<10）。
17、（德阳市2013年压轴题）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在
x轴、y轴上，且C点坐标为(0，6)，将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上），使C点落
在DA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
(1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线 经过B,
H, D三点，求抛物线解析式；
(3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B, D点），过点
P作PN⊥BC，分别交BC 和 BD于点N, ，是否存在这样的点P，使 如果
存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．