河北省2013年中考数学试题分析

2013年河北省初中毕业生升学文化课考试
数 学 试 卷
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为，卷Ⅱ为非．
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
卷Ⅰ（选择题，共42分）
注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．
一、选择题（本大题共16个小题，1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 气温由-1℃上升2℃后是
A．－1℃　B．1℃　　C．2℃　D．3℃
答案：B
解析：上升2℃，在原温度的基础上加2℃，即：－1＋2＝1，选B。
2. 截至2013年3月底，某市人口总数已达到4 230 000人.将4 230 000用科学记数法表示为
A．0.423×107　　B．4.23×106　　C．42.3×105　　 D．423×104
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．4 230 000＝4.23×106　
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
答案：C
解析：A是只中心对称图形，B、D只是轴对称图形，只有C既是轴对称图形又是中心对称图形。
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．a(x－y)＝ax－ay B．x2+2x+1＝x(x+2)+1
C．(x+1)(x+3)＝x2+4x+3 D．x3－x＝x(x+1)(x－1)
答案：D
解析：因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，所以，A、B、C都不符合，选D。
5．若x＝1，则x－4＝
A．3　B．－3　C．5　D．－5
答案：A
解析：当x＝1时，｜x－4｜＝｜1－4｜＝3。
6．下列运算中，正确的是
Ａ．9＝±3　Ｂ．3－8＝2　Ｃ．(－2)0＝0　D．2－1＝12
答案：D
解析：9是9的算术平方根，9＝3，故A错；3－8＝－2，B错，(－2)0＝1，C也错，选D。
7．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A．120x＝100x－10B．120x＝100x+10
C．120x－10＝100x D．120x+10＝100x
答案：A
解析：甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120x＝100x－10，选A。
8．如图1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的
距离为
A．40海里B．60海里
C．70海里 D．80海里
答案：D
解析：依题意，知MN＝40×2＝80，又∠M＝70°，∠N＝40°，
所以，∠MPN＝70°，从而NP＝NM＝80，选D＞
9．如图2，淇淇和嘉嘉做数学游戏：
假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y =
A．2B．3
C．6 D．x+3
答案：B
解析：依题可得 ： ＝3，故选B。
10．反比例函数y＝mx的图象如图3所示，以下结论：
① 常数m ＜－1；
② 在每个象限内，y随x的增大而增大；
③ 若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
④ 若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.
其中正确的是
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案：C
解析： 因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，① 错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，k＝ ，因为m＞0，所以，h＜k，正确；函数图象关于原点对称，故④正确，选C。
11．如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，
NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =
A．3B．4
C．5 D．6
答案：B
解析：由△AFN∽△AEM，得： ，即 ，
解得：AN＝4，选B。
12．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
答案：A
解析：对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及角B为90度，知ABCD是矩形，正确；对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及角B为90度，可判断ABCD是矩形，故都正确，选A。
13．一个正方形和两个等边三角形的位置如图6所示，若∠3 = 50°，则∠1+∠2 =
A．90°B．100°
C．130° D．180°
答案：B
解析：如下图，∠ABC＝180°－50°－60°＝70°,
∠BAC＋∠BCA＝180°－70°＝110°，
∠1＝180°－90°－∠BAC，∠2＝180°－60°－∠BCA，
∠1＋∠2＝210°－（∠BAC＋∠BCA）＝100°，选B。
14．如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°，
CD = 2 .则S阴影=
A．πB．2π
C．23 3D．23π
答案：D
解析：∠AOD＝2∠C＝60°，可证：△EAC≌△EOD，因此阴影部分的面积就是扇形AOD的面积，半径OD＝2，S扇形AOD＝ ＝23π
15．如图8-1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成
△ABC，且∠B = 30°，∠C = 100°，如图8-2.
则下列说法正确的是
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
答案：C
解析：由题知AC为最短边，且AC＋BC＞AB，所以，
点C在AM上，点B在MD上，且靠近B点 ，选C。
16．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是
答案：A
解析：AD＝13，sinA＝ ，当P在AD上运动时，△PEF的高h＝ t，
y = S△EPF＝ t，是一次函数关系，当点P在CD上运动时，高不变，底不变，三角形的面积不变，当点P在C上运动时，同样也是一次函数关系，故选A。
2013年河北省初中毕业生升学文化课考试
数 学 试 卷
卷Ⅱ（非选择题，共78分）
注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．
2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．
题号 三
1920212223242526
得分
得 分评卷人
二、题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案
写在题中横线上）
17．如图10，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块
随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是________．
答案：
解析：与A相邻的面有3个，而正方体的面共有6个，因此所求概率为：
18．若x+y＝1，且，则x≠0，则(x+2xy+y2x) ÷x+yx的值为_____________．
答案：1
解析：原式＝ ＝1
19．如图11，四边形ABC D中，点M，N分别在AB，BC上，
将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，
则∠B = °．
答案：95
解析：∠BNF＝∠C＝ 70°，∠BMF＝∠A＝100°，
∠BMF＋∠B＋∠BNF＋∠F＝360°，所以，∠F＝∠B＝95°。
20．如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）
在第13段抛物线C13上，则m =_________．
答案：2
解析：C1：y＝－x(x－3)（0≤x≤3）
C2：y＝（x－3）(x－6)（3≤x≤6）
C3：y＝－（x－6）(x－9)（6≤x≤9）
C4：y＝（x－9）(x－12)（9≤x≤12）
┉
C13：y＝－（x－36）(x－39)（36≤x≤39），当x＝37时，y＝2，所以，m＝2。
三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（本小题满分9分）
定义新运算：对于任意实数a，b，都有a?b＝a(a－b)+1，等式右边是通常的加法、
减法及运算，比如： 2?5＝2?(2－5)+1
＝2?(－3)+1
＝－6+1
＝－5????
（1）求（－2）?3的值
（2）若3?x的值小于13， 求x的取值范围，并在图13所示的数轴上表示出来.
解析：
（1） =10+1 =11
（2）∵ <13　　∴
数轴表示如图1所示
22．（本小题满分10分）
某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图14-1）和条形图（如图14-2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
① 小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
② 请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
解析：
：（1）D 有错
理由： =2 3
（2）众数为5
中位数为5
（3）①第二步
② =5.3
估计这260名学生共植树：5.3 260=1378（棵）
23．（本小题满分10分）
如图15，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移 动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.
（1）当t＝3时，求l的 解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.
解析：
（1）直线 交y轴于点P（0，b），
由题意，得b>0，t≥0，
b=1+t
当t= 3时，b=4
∴
（2）当直线 过M（3,2）时
解得b=5
5=1+t
∴t=4
当直线 过N（4,4）时
解得 b=8
8=1+t
∴t=7
∴4(3)t=1时，落在y轴上；
t=2时，落在x轴上；
24．（本小题满分11分）
如图16，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧MN⌒分别交OA，OB于点M，N.
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.
求证：AP = BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧MN⌒上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.
解析：
（1）证明：如图2，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80+∠BOP.
∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80+∠BOP
∴∠AOP=∠BOP’2分
又∵OA=OB，OP=OP’
∴△AOP≌△BOP’4分
∴AP=BP’5分
（2）解：连接OT，过T作TH⊥OA于点H
∵AT与MN⌒相切，∴∠ATO=906分
∴ = =87分
∵ = ,即 =
∴TH= ，即为所求的距离9分
（3）10，17011分
【注：当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】
25．（本小题满分12分）
次数n21
速度x4060
指数Q420100
某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；
（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）
同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－b2a，4ac－b24a）
解析：
（1）设 ，∴
由表中数据，得 ，解得
∴ 4分
（2）由题意，得
∴n=2 6分
（3）当n=3时，
由 可知，要使 Q最大， =909分
（4）由题意，得
10分
即 ，解得 ，或 =0（舍去）
∴m=5012分
26．（本小题满分14分）
一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些
液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α
（∠CBE = α，如图17-1所示）．
探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于
点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如
图17-2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）
（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)
拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.
[温馨提示：下页还有题！]
延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.
解析：
探究 （1）CQ∥BE 32分
（2） （dm3）4分
（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=
∴ =∠BCQ=376分
拓展 当容器向左旋转时，如图3,0≤ ≤377分
∵液体体积不变，∴
∴ 9分
当容器向右旋转时，如图4，
同理得 ，10分
当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B’重合时，如图5.
由BB’=4，且 ，得 =3
∴由tan∠ = ，得∠ =37，∴ =∠ =53
此时37≤ ≤5312分
【注：本问的范围中，“≤”为“<”不影响得分】
延伸 当 =60时，如图6所示，设FN∥EB， ∥EB
过点G作GH⊥ 于点H
在Rt△ 中，GH=MB=2，∠ =30，∴ =
∴MG=BH= 此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形 为底面的直棱柱
∵ △NFM + = =
∴ = = >4（dm3）


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