逍遥学能 2014-03-22 10:05
南京市江宁区2012-2013学年八年级（上）期中数学试卷
一、（每小题2分，共16分）
1．（2分）下列几个数中，属于无理数的是（ ）
A． B．2C．0D．
考点：无理数．.
专题：．
分析：由于无理数是开不尽方的数，或者无限不循环小数为无理数，由此即可判定选择项．
解答：解：2，0， 是有理数；
开方开不尽故是无理数．
故选A．
点评：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，或者无限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2分）2的算术平方根是（ ）
A． B．? C．± D．2
考点：算术平方根．.
分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a是算术平方根，利用此定义进行分析即可判定．
解答：解：∵ 2的平方为2，
∴2的算术平方根为 ．
故选A．
点评：此题主要考查学生对算术平方根的概念的理解及运用，注意算术平方根与平方根的区别，弄清概念是解决本题的关键．
3．（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．.
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图的特点求解．
解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．（2分）下列各数在2与3之间的是（ ）
A．1B． C． D．
考点：估算无理数的大小．.
分析：由于22=4，32=9，由此到2与3之间的无理数在 和 之间，从而确定选择项．
解答：解：∵ =2， =3，
∴大于 而小于 的数只有D，
故选D．
点评：本题主要考查了无理数的估算，此题常见计算无理数的范围．
5．（2分）如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C；（4）AD平分∠BAC
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．.
分析：先由线段中点的定义得到DB=DC，再根据全等三角形的判定方法可得到△ABD≌△ACD；由于AB=AC，DB=DC，根据等腰三角形的性质即可得到AD⊥BC；∠B=∠C，AD平分∠BAC．
解答：解：∵D为BC的中点，
∴DB=DC，
∵在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；所以（1）正确．
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD⊥BC；∠B=∠C，AD平分∠BAC，所以（2）、（3）、（4）正确．
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有三组对应边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．
6．（2分）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4B．a=1，b=2，c=3C．a=3，b=4，c=5D．a=7，b=8，c=9
考点：勾股数．.
专题：证明题．
分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答：解：A、（ 2）2+（ 3）2≠（ 4）2，故不是直角三角形，故本选项错误；
B、12+22≠32，故不是直角三角形，故本选项错误；
C、32+42=52，故是直角三角形，故本选项正确；
D、72+82≠92，故不是直角三角形，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．（2分）如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点：角平分线的性质．.
分析：可过点P作PE⊥OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．
解答：解：如图，过点P作PE⊥OB，
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，又PD=2，
∴PE=PD=2．
故选B．
点评：本题考查了角平分线的性质；要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．（2分）平行四边形的一条边长为6c，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．8c和3cB．8c和4cC．8c和5cD．8c和20c
考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．.
分析：由平行四边形的对角线互相平分与三角形的三边关系，即可求得答案；注意掌握排除法在中的应用．
解答：解：如图：四边形ABCD是平行四边形，AB=6c，
A、∵AC=8c，BD=3c，
∴OA= AC=4c，OB=1.5c，
∵4+1.5=5.5＜6，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
B、∵AC=8c，BD=4c，
∴OA= AC=4c，OB=2c，
∵4+2=6，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
C、∵AC=8c，BD=5c，
∴OA= AC=4c，OB=2.5c，
∵4+2.5=6.5＞6，
∴能组成三角形，
故本选项正确；
D、∵BD=8c，AC=20c，
∴OB= BD=4c，OA=10c，
∵4+6=10
∴不能组成三角形，
故本选项错误．
故选C．
点评：此题考查了平行四边形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握定理的应用．
二、题（每小题2分，共20分）
9．（2分）（2013•铜仁地区）4的平方根是 ±2 ．
考点：平方根．.
分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解答：解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10．（2分）（2004•乌鲁木齐）?27的立方根是 ?3 ．
考点：立方根．.
分析：根据立方根的定义求解即可．
解答：解：∵（?3）3=?27，
∴ =?3
故填?3．
点评：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
11．（2分）中国2010年上海世界博览会累计参观人数8308.44万人次，刷新了世界纪录．将8308.44保留两个有效数字并用科学记数法表示为 8.3×103 ．
考点：科学记数法与有效数字．.
分析：较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
解答：解：8308.44=8.30844×103≈8.3×103．
故答案是：8.3×103．
点评：注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．
12．（2分）（2012•平原县二模）若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为 15 ．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．.
专题：分类讨论．
分析：因为3和6不知道那个是底那个是腰，所以要分不同的情况讨论，当3是腰时，当6是腰时等．
解答：解：当3是腰时，边长为3，3，6，但3+3=6，故不能构成三角形，这种情况不可以．
当6是腰时，边长为6，6，3，且3+6＞6，能构成三角形故周长为6+6+3=15．
故答案为：15．
点评：本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两边相等，以及三角形的三边关系，两个小边的和必须大于大边才能组成三角形．
13．（2分）（2010•昆山市一模）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
考点：勾股定理．.
分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
解答：解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为： = ；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为： =5；
故第三边的长为：5或 ．
点评：此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
14．（2分）（2005•漳州）如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8c，则正方形与正方形N的面积之和为 64 c2．
考点：勾股定理．.
专题：压轴题．
分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．
解答：解：∵S=AB2，SN=AC2，又∵AC2+AB2=BC2=8×8=64，
∴与正方形N的面积之和为64c2．
点评：注意：运用勾股定理和正方形的面积公式可以证明，以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
15．（2分）如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则△ABC中的∠B= 90° ．
考点：轴对称的性质；三角形内角和定理．.
分析：先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C=∠C′，再由三角形内角和定理可得出∠B的度数．
解答：解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=60°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°?∠A?∠C=180°?30°?60°=90°．
故答案为：90°．
点评：本题考查的是轴对称的性质及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
16．（2分）（2011•宝应县模拟）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于 35 度．
考点：旋转的性质．.
分析：根据旋转的意义，找到旋转角∠BOD；再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数．
解答：解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，
∴∠BOD=80°，
∵∠AOB=45°，
则∠AOD=80°?45°=35°．
故填35．
点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．注意∠AOD=∠BOD?∠AOB．
17．（2分）（2010•小店区）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4c，则AB= 8 c．
考点：直角三角形斜边上的中线．.
分析：由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知了中线CD的长，即可求出斜边的长．
解答：解：∵D是斜边AB的中点，
∴CD是斜边AB上的中线；
故AB=2CD=8c．
点评：此题主要考查的是直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
18．（2分）若2?4与3?1是同一个数的平方根，则为 1或?3 ．
考点：平方根．.
专题：．
分析：由于同一个数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2?4=?（3?1），解方程即可求解．
解答：解：依题意得：2?4=?（3?1）或2?4=3?1，
解得=1或?3；
∴的值为1或?3．
故答案为1或?3．
点评：此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
三、解答题
19．（8分）求下列各式中的x
（1）2x2?32=0；
（2）（x+1）3=?8．
考点：立方根；平方根．.
分析：（1）先移项，然后将二次项系数化为1，继而开平方可得出x的值；
（2）直接开立方可得出（x+1），继而可得出x的值．
解答：解：（1）移项得：2x2=32，
系数化为1得：x2=16，
开平方得：x=±4；
（2）开立方得：（x+1）=?2，
解得：x=?3．
点评：本题考查了平方根及立方根的知识，掌握开平方及开立方的法则是关键．
20．（5分）计算： ．
考点：实数的运算．.
分析：先把原式中各二次根式化简，再作加减即可求解．
解答：解：∵（ ）2=3， =4， =?2，
∴原式=3?4?2=?3．
点评：此题主要考查了实数的运算，其中尤其考查二次根式的化简，注意立方根的符号．
21．（6分）如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中
（1）画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）请说明画出的线，为什么平分∠AOB？
考点：作图—复杂作图；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．.
分析：（1）连接AB和EF，两对角线相交于点H，再作射线OH即可；
（2）首先根据平行四边形的性质可得AH=BH，再根据等腰三角形的性质可得OH平分∠AOB．
解答：解：（1）如图所示：
（2）∵四边形AEBF是平行四边形，
∴AH=BH，
∵OA=OB，AH=BH，
∴OH平分∠AOB．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
22．（6分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1．
考点：作图-旋转变换．.
专题：作图题．
分析：根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可．
解答：解：如图所示，△A1B1C1即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连AE、CF．问：四边形AECF为平行四边形吗？为什么？
考点：平行四边形的判定与性质．.
专题：探究型．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，且AD=BC，又点E、F分别为边BC、AD的中点，故有AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形．
解答：解：四边形AECF是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
又点E、F分别为边BC、AD的中点，
∴AF= AD= BC=CE，
∴AF∥CE，且AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
点评：此题主要考查平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
24．（8分）如图，△ABC 中，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD与CE交于点O．BE=CD
（1）问△ABC为等腰三角形吗？为什么？
（2）问点O在∠A的平分线上吗？为什么？
考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：（1）先利用HL证明Rt△BCD与Rt△CBE全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边的性质可得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；
（2）根据（1）中Rt△BCD≌Rt△CBE，然后利用全等三角形对应边相等可得BD=CE，对应角相等可得∠BCE=∠CBD，然后利用等角对等边可得BO=CO，相减可得OD=OE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明．
解答：解：（1）△ABC是等腰三角形．
理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，
∴△BCD与△CBE是直角三角形，
在Rt△BCD与Rt△CBE中， ，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
（2）点O在∠A的平分线上．
理由如下：∵Rt△BCD≌Rt△CBE，
∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，
∴BO=CO，
∴BD?BO=CE?CO，
即OD=OE，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴点O在∠A的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，证明出全等三角形是解题的关键．
25．（6分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点．求证：AE=DE．
考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：先利用等腰梯形的性质得出AB=CD，∠B=∠C，再运用SAS证明△ABE≌△DCE，然后根据全等三角形的对应边相等即可得出AE=DE．
解答：证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE．
点评：本题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．
26．（6分）如图，一架长为10的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离是8．如果梯子的顶端下滑2，那么它的底端是否也滑动2？请你通过计算来说明．
考点：勾股定理的应用．.
分析：先根据勾股定理求出CB′的长，再根据勾股定理求出CB的长，求出二者之差，即可得出正确结论．
解答：解：底端滑动2（1分），理由：
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，BC= ，（2分）
又∵AA′=2，
∴AC=6，在Rt△A′CB′中，B′C=8，（2分）
∴BB′=2，
∴底端滑动2．（1分）
点评：此题看似复杂，实则简单，只要两次运用勾股定理即可得出正确结论．
27．（5分）做8个全等的直角三角形（2条直角边长分别为a、b，斜边长为c），再做3个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成2个正方形（如图）你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．
考点：勾股定理的证明．.
专题：证明题．
分析：通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理．
解答：解：由图可知大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，图中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为b，宽为a的长方形，
根据面积相等得： ，
由右图可得 ．
所以a2+b2=c2．
点评：本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，
28．（8分）理解
（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？ 相等 （S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．
考点：作图—应用与设计作图；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；梯形．.
分析：（1）由于△ABD与△ACD等底同高，根据三角形的面积公式即可得出S△ABD与S△ADC相等；
（2）延长DE交CB的延长线于点F，根据AAS证明△DAE≌△FBE，则DE=FE，S△DAE=S△FBE，又由（1）的结论可得S△DEC=S△FEC，代入即可说明S△DEC=S△ADE+S△EBC；
（3）取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，则S梯形ABCD=S△CDF，再取CF的中点G，作直线DG，则S△CDG=S△FDG=S梯形ADGB= S梯形ABCD，故直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
解答：解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
又∵S△ABD= •BD•AE，S△ADC= •CD•AE，
∴S△ABD=S△ADC．
故答案为相等；
（2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．
∵E是AB的中点，∴AE=BE．
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE．
在△DAE与△FBE中，
，
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE=FE，S△DAE=S△FBE，
∴E是DF中点，
∴S△DEC=S△FEC=S△BFE+S△EBC=S△ADE+S△EBC，
∴S△DEC=S△ADE+S△EBC；
（3）如图所示：
取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，
则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
点评：本题考查了三角形的面积，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，作图?应用与设计作图，（2）中通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．