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第二节 指数的扩充及其运算性质
一、(每小题5分，共20分)
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
【解析】 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(12)－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44，
∴y1>y3>y2.
【答案】D
2．若142a＋1<143－2a，则实数a的取值范围是( )
A.12，＋∞ B.1，＋∞ C．(－∞，1) D.－∞，12
【解析】 函数y＝14x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>12.故选A.
【答案】 A
3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f(13)<f(32)<f(23) B．f(23)<f(32)<f(13)
C．f(23)<f(13)<f(32) D．f(32)<f(23)<f(13)
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，
因为函数f(x)＝3x－1在[1，＋∞)上是增函数，
所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.
【答案】 B
4．如果函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
A．(0，12) B．(12，＋∞) C．(－∞，12) D．(－12，12)
【解析】 根据指数函数的概念及性质求解．
由已知得，实数a应满足1－2a>01－2a<1，解得a <12a>0，
即a∈(0，12)．故选A.
【答案】 A
二、题(每小题5分，共10分)
5．设a>0，f(x)＝exa＋aex(e>1)，是R上的偶函数，则a＝________.
【解析】 依题意，对一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，
∴exa＋aex＝1aex＋aex，
∴(a－1a)(ex－1ex)＝0.
∴a－1a＝0，即a2＝1.
又a >0，∴a＝1.
【答案】 1
6．下列空格中填“>、<或＝”．
(1)1.52.5________1.53.2，(2) 0.5－1.2________0.5－1.5.
【解析】 (1)考察指数函数y＝1.5x.
因为1.5>1，所以y＝1.5x在R上是 单调增函数．
又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察指数函数y＝0.5x.
因为0<0.5<1，所以y＝0.5x在R上是单调减函数．
又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.
【答案】 <，<
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．根据下列条件确定实数x的取值范围：a<1a1－2x(a>0且a≠1)．
【解析】 原不等式可以化为a2x －1>a12，因为函数y＝ax(a>0且a≠1)当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a大于0小于1时在R上是减函数，
所以当a>1时，由2x－1>12，解得x>34；
当0<a<1时，由2x－1<12， 解得x<34.
综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.
8．已知a>0且a≠1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．
【解析】 设u＝－x2＋3x＋2＝－x－322＋174，
则当x≥32时，u是减函数，当x≤32时，u是增函数．
又当a>1时，y＝au是增函数，当0<a<1时，y＝au是减函数，
所以当a>1时，原函数f(x)＝a－x2＋3x＋2在32，＋∞上是减函数，在－∞，32上是增函数．
当0<a<1时，原函数f(x)＝a－x 2＋3x＋2在32，＋∞上是增函数，在 －∞，32上是减函数．
9．(10分)已知函数f(x)＝3x＋3－x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调增区间，并证明．
【解析】 (1)f(－x)＝3－x＋3－ (－x)＝3－x＋3x＝f(x)且x∈R，
∴函数f(x)＝3x＋3－x是偶函数．
(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．
现证明如下：
设0≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1＋3－x1－3x2－2－x2
＝3x1－3x2＋13 x1－13x2＝3x1－3x2＋3x2－3x13x13x2
＝(3x2－3x1)•1－3x1＋x23x1＋x2.
∵0≤x1<x2，∴3x2>3x1，3x1＋x2>1，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴函数在[0，＋∞)上单调递增，
即函数的单调增区间为[0，＋∞)． 来
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