逍遥学能 2014-03-13 12:24
2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为, 第二部分为非.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R, 函数 的定义域为, 则 为
(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (D)
2. 已知向量 , 若a//b, 则实数等于
(A) (B)
(C) 或 (D) 0
3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
5. 对一批产品的长度(单位: )进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为
(A) 0.09(B) 0.20 (C) 0.25(D) 0.45
6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若 , 则z是实数(B) 若 , 则z是虚数
(C) 若z是虚数, 则 (D) 若z是纯虚数, 则
7. 若点(x,y)位于曲线y = x与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为
(A) －6(B) －2(C) 0(D) 2
8. 已知点(a,b)在圆 外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是
(A) 相切(B) 相交(C) 相离(D) 不确定
9. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 , 则△ABC的形状为
(A) 直角三角形(B) 锐角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
(A) [－x] = －[x](B) [x + ] = [x]
(C) [2x] = 2[x](D)
二、题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线 的离心率为 .
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .
13. 观察下列等式:
…
照此规律, 第n个等式可为 .
14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 ().
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 设a, b∈R, a－b>2, 则关于实数x的不等式 的解集是 .
B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知 , PD = 2DA = 2, 则PE = .
C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 .
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. (本小题满分12分)
已知向量 , 设函数 .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
17. (本小题满分12分)
设Sn表示数列 的前n项和.
(Ⅰ) 若 为等差数列, 推导Sn的计算公式;
(Ⅱ) 若 , 且对所有正整数n, 有 . 判断 是否为等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别ABCDE
人数5010015015050
(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别ABCDE
人数5010015015050
抽取人数6
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
20. (本小题满分13分)
已知动点(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线的斜率.
21. (本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线 有唯一公共点.
(Ⅲ) 设a<b, 比较 与 的大小, 并说明理由.
答案：
1.【答案】B 2. 【答案】C3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】D
6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】B9. 【答案】A10. 【答案】D
11. 【答案】 12. 【答案】 13. 【答案】
14. 【答案】20
15. A 【答案】R
B 【答案】
C 【答案】 (1, 0)
16【解】 = 。
最小正周期 。
所以 最小正周期为 。
(Ⅱ) .
.
所以，f (x) 在 上的最大值和最小值分别为 .
17【解】(Ⅰ) 设公差为d,则
.
(Ⅱ) 。
.
所以, 是首项 ,公比 的等比数列。
18【解】 (Ⅰ) 设 .
.
.(证毕)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以， .
19【解】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。
从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。
(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为 •
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为 •
现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率 .
所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为 .
20.【解】 (Ⅰ) 点(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
.
所以，动点的轨迹为 椭圆，方程为
(Ⅱ) P(0, 3), 设
椭圆 经检验直线不经过这2点，即直线斜率k存在。 .联立椭圆和直线方程，整理得：
所以，直线的斜率
21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.
当 时,有0个公共点；当= ,有1个公共点；当 有2个公共点；
(Ⅲ) >
(Ⅱ) (Ⅰ) f (x)的反函数 ,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k= .
.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线 有唯一公共点，过程如下。
因此，
所以，曲线y=f(x)与曲线 只有唯一公共点(0,1).(证毕）
(Ⅲ) 设
令 。
，且
。