2013年高三数学二模理科试卷(房山区附答案)

逍遥学能  2014-03-04 11:25

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房山区2013年高考第二次模拟试卷
数 学 (理科)
本试卷共4页,150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。
一、:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若?p∨q是假命题,则
A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题
C. p是假命题D. ?q是假命题
2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是
A.
B.
C.
D.
3.如图, 是⊙O上的四个点,过点B的切线与 的
延长线交于点E.若 ,则
A.
B.
C.
D.
4.设平面向量 ,若 // ,则 等于
A.
B.
C.
D.
5.已知 是不等式组 所表示的平面区域内的两个不同的点,则 的
最大值是
A.
B.
C.
D.
6.已知数列 的前 项和为 , , ,则
A. B.
C.
D.
7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体
的表面积为
A.
B.
C.
D.
8.定义运算 ,称 为将点 映到点 的
一次变换.若 = 把直线 上的各点映到这点本身,而把直线
上的各点映到这点关于原点对称的点.则 的值依次是
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 .
10.直线 的参数方程为 (t为参数),则直线 的斜率为 .
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是 . ,则 .
12.若 展开式中的二项式系数和为 ,则 等于 ,该展开式中的常数项为 .
13.抛物线 的焦点坐标为 ,则抛物线 的方程为 ,若点 在抛物线
上运动,点 在直线 上运动,则 的最小值等于 .
14.在数列 中,如果对任意的 ,都有 ( 为常数),则称数列 为
比等差数列, 称为比公差.现给出以下命题:
①若数列 满足 ,则该数列不是比等差数列;
②若数列 满足 ,则数列 是比等差数列,且比公差 ;
③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;
④若 是等差数列, 是等比数列,则数列 是比等差数列.
其中所有真命题的序号是 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数 的最小正周期为 ,且图象过点 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)设 ,求函数 的单调递增区间.
16.(本小题满分14分)
如图, 是正方形, 平面 ,
, .
(Ⅰ) 求证: ;
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值;
(Ⅲ)设点 是线段 上一个动点,试确定点 的位置,
使得 平面 ,证明你的结论.
17.(本小题满分13分)
小明从家到学校有两条路线,路线1上有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;路线2上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 .
(Ⅰ)若小明上学走路线1,求最多遇到1次红灯的概率;
(Ⅱ)若小明上学走路线2,求遇到红灯次数 的数学期望;
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数 ( ).
(Ⅰ)当 时,求函数 的单调区间;
(Ⅱ)当 时, 取得极值.
① 若 ,求函数 在 上的最小值;
② 求证:对任意 ,都有 .
19.(本小题满分14分)
已知椭圆 : 的离心率为 ,且过点 .直线
交椭圆 于 , (不与点 重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明
理由.
20.(本小题满分13分)
设 ,对于项数为 的有穷数列 ,令 为 中的最大值,称数列 为 的“创新数列”.例如数列 3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 .
(Ⅰ)若 ,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列 ;
(Ⅱ)是否存在数列 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)是否存在数列 ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列 的个数;若不存在,请说明理由.
房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案
数 学 (理科) 2013.05
一、:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11.
12. 13. 14. ①②
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15(本小题满分13分)
(Ⅰ)由最小正周期为 可知 , ………………2分
由 得 ,
又 ,
所以 , ………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
所以
…………………………………………………………………9分

得 ……………………………12分
所以函数 的单调增区间为 .
…………………………………………………13分
16(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明: 因为 平面 ,
所以 . ……………………1分
因为 是正方形,
所以 ,
所以 平面 , …………………3分
从而 ……………………4分
(Ⅱ)解:因为 两两垂直,
所以建立空间直角坐标系 如图所示. …………5分
设 ,可知 . ……………………6分
则 , , , , , ,
所以 , , ………………7分
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 . …………………8分
因为 平面 ,所以 为平面 的法向量, ,
所以 ………………………………………9分
因为二面角为锐角,所以二面角 的余弦值为 . …………10分
(Ⅲ)解:点 是线段 上一个动点,设 .

因为 平面 ,
所以 , ……………11分
即 ,解得 . ……………13分
此时,点 坐标为 , ,符合题意. ……………14分
17(本小题满分13分)
(Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件,则
. ………………2分
(Ⅱ)依题意, 的可能取值为0,1,2.


. ………………………………8分
随机变量 的分布列为:
………………………………………………9分
. ………………10分
(Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为 ,则 ,
所以 . ………………12分
因为 ,所以选择路线1上学最好. ………………13分
18(本小题满分13分)
(Ⅰ) …………1分
当 时,
解 得 或 , 解 得 ……………2分
所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为 ………3分
(Ⅱ)①当 时, 取得极值, 所以
解得 (经检验 符合题意) ……………4分
?
??
所以函数 在 , 递增,在 递减. ……5分
当 时, 在 单调递减,
………………6分
当 时
在 单调递减,在 单调递增,
. ………………7分
当 时, 在 单调递增,
……………………8分
综上, 在 上的最小值
……………………9分
②令 得 (舍)
因为
所以 ……………11分
所以,对任意 ,都有
……………13分
19(本小题满分14分)
(Ⅰ) , ,
, ,
. ------------------------------------------3分
(Ⅱ)设 , ,

① ②----------------------5分
, --------------------8分
设 为点 到直线BD: 的距离,
--------------------10分
----------------------13分
当且仅当 时等号成立
∴当 时, 的面积最大,最大值为 ----------------14分
20(本小题满分13分)
(Ⅰ)由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列 有6个,
3,5,1,2,4; ……………………………………………………………2分
3,5,1,4,2;   
3,5,2,1,4;
3,5,2,4,1;
3,5,4,1,2;
3,5,4,2,1;………………………………………………………………4分
(Ⅱ)存在数列 的创新数列为等比数列. 设数列 的创新数列为 ,
因为 为前 个自然数中最大的一个,所以 .若 为等比数列,
设公比为 ,因为 ,所以 .……………7分
当 时, 为常数列满足条件,即为数列
当 时, 为增数列,符合条件的数列只能是 ,
又 不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个.
………………………………………………………………8分
(Ⅲ)存在数列 ,使它的创新数列为等差数列,
设数列 的创新数列为 ,因为 为前 个自然数中最大的一个,
所以 .若 为等差数列,设公差为 ,
因为 ,所以 .且
当 时, 为常数列满足条件,即为数列 (或写通项公式 ),
此时数列 是首项为 的任意一个排列,共有 个数列;
………………………………………11分
当 时,符合条件的数列 只能是 ,此时数列 是 ,
有1个;
当 时, 又
这与 矛盾,所以此时 不存在.
综上满足条件的数列 的个数为 个(或回答 个).
……………………………………………13分


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