2013年高三数学二模理科试卷（丰台区有答案）

丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）
数学（理科）
第一部分（ 共40分）
一 、共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 复数 的虚部为
（A）3 （B） （C）4 （D）
2. 设向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b方向相反，则x的值是
（A）2 （B）-2 （C） （D）0
3. 展开式中的常数项是
（A）6 （B）4 （C）-4 （D）-6
4. 已知数列{an}， 则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的
（A）充要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分而不必要条件 （D）既不充分又不必要条件
5. 下列四个函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的是
（A） （B）
（C） （D）
6. 在平面区域 内任取一点 ，若 满足 的概率大于 ，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是
(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72
8. 已知偶函数f(x)（x∈R），当 时，f(x)=-x(2+x)，当 时，f(x)=(x-2)(a-x)（ ）.
关于偶函数f(x)的图象G和直线 :y=m（ ）的3个命题如下：
①当a=4时，存在直线 与图象G恰有5个公共点；
②若对于 ，直线 与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；
③ ，使得直线 与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 圆 的半径是________。
10.已知变量 具有线性相关关系，测得 的一组数据如下： ，其回归方程为 ，则 的值是 。
11.如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______。
12.若双曲线C: 的离心率为 ,则抛物线 的焦点到C的渐近线距离是______。
13.曲线 在 处的切线方程是______，在x=x0处的切线与直线 和y轴围成三角形的面积为 。
14.在圆 上有一点P(4,3)，点E,F是y轴上两点，且满足 ,直线PE，PF与圆交于C，D，则直线CD的斜率是________。
三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题13分） 已知 的三个内角分别为A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若 求 的面积S.
16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：
污染指数0~5051~100101~150151~200201~300>300
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
3414018731212104045782365792078160
421013816315422273615149103135201648
根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX.
频率分布表
分组频数频率
[0,50] 14
(50,100] ax
(100,150]5
(150,200]by
(200,250]2
合计301
17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上， 于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））.
（Ⅰ）求证：PB DE；
（Ⅱ）若PE BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长.
图（1） 图（2）
18.（本小题13分）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a>0，讨论 的单调性.
19.（本小题14分）已知椭圆C： 的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m, ) 满足 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；
（Ⅲ）若?BME面积是?AMF面积的5倍，求m的值.
20.（本小题14分）已知等差数列 的通项公式为an=3n-2，等比数列 中， .记集合 ， ，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列 .
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式，并写出数列 的前4项；
（Ⅱ）把集合 中的元素从小到大依次排列构成数列 ，求数列 的通项公式，并说明理由；
（Ⅲ）求数列 的前n项和
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）
数学（理科）
一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.
题号12345678
答案ABACC DBD
二、题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 1； 10. 0.9； 11. 2； 12. ； 13. 3x+y-4=0, 2； 14. .
三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题13分） 已知 的三个内角分别为A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若 求 的面积S.
, ……………………….2分
, ……………………….4分
°. …………………….6分
（Ⅱ）在 中, ,
或 (舍),………….10分
. …………………….13分
16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：
污染指数0~5051~100101~150151~200201~300>300
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
3414018731212104045782365792078160
421013816315422273615149103135201648
根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX.
频率分布表
分组频数频率
[0,50] 14
(50,100] ax
(100,150]5
(150,200]by
(200,250]2
合计301
解：（Ⅰ） , ………………………….4分
（Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P= ，………..5分
. ………………………….10分
的分布列为:
X01234
………………………….11分
X~B(4， ), . ………………………….13分
17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上， 于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））.
（Ⅰ）求证：PB DE；
（Ⅱ）若PE BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE的长.
图（1） 图（2）
解: （Ⅰ） ， ,DE PE, ……………….2分
， DE 平面PEB,
, BP DE; ……………………….4分
（Ⅱ） PE BE， PE DE， ,所以，可由DE,BE,PE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），……………………………………………………………5分
设PE=a，则B(0,4-a ,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，……………………7分
， ,……………………8分
设面PBC的法向量 ,
令 , , …………10分 …………….10分
, ……………………….12分
BC与平面PCD所成角为30°,
. ……………………….11分
，
解得：a= ,或a=4(舍)，所以，PE的长为 .……………………….13分
18.（本小题13分）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a>0，讨论 的单调性.
解：（Ⅰ） 的定义域为 , ……………………….1分
当 时， ……………………….2分
令 在[1,e]上得极值点
x 2
……………………….4分
……………………….5分
. ………………….7分
（Ⅱ） ， ……………………….8分
① 时，由 >0得0 ,所以f(x)的单调增区间是(0,2), ,
由 <0得2② 时， 在（0，+?）上恒成立，且当且仅当 ，
在（0，+?）单调递增； ……………………….11分
③当 时，由 >0得02,所以f(x)的单调增区间是(0, ), ,
由 <0得 19.（本小题14分）已知椭圆C： 的短轴的端点分别为A,B（如图）,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m, ) 满足 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；
（Ⅲ）若?BME面积是?AMF面积的5倍，求m的值.
解：（Ⅰ）依题意知 , , ; ……………………… 3分
（Ⅱ） ,M (m, )，且 ， ………………………4分
直线AM的斜率为k1= ,直线BM斜率为k2= ,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , ……………6分
由 得 ，
………………………8分
由 得 ，
； ………………………10分
（Ⅲ） , , ,
, ， , ………………..12分
，
整理方程得 ，即 ，
又 ， ， ， 为所求. ………………14分
20.（本小题14分）已知等差数列 的通项公式为an=3n-2，等比数列 中， .记集合 ， ，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列 .
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式，并写出数列 的前4项；
（Ⅱ）把集合 中的元素从小到大依次排列构成数列 ，求数列 的通项公式，并说明理由；
（Ⅲ）求数列 的前n项和
解：（Ⅰ）设等比数列 的公比为q，
，则q3=8， q=2， bn=2n-1， ………………..2分
数列 的前4项为1,4,7,10，数列{bn}的前4项为1,2,4,8，
数列 的前4项为1，2，4，7； ………………..3分
（Ⅱ）据集合B中元素2，8，32，128 A，猜测数列 的通项公式为dn =22n-1.
………………..4分
dn=b2n ， 只需证明数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A（ ）.
证明如下：
b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，
若 m∈N*,使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b2n-1∈A，则b2n+1∈A.因为b1∈A，重复使用上述结论，即得b2n-1∈A（ ）。
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，因为“3×2×4n-1” 数列 的公差3的整数倍，所以说明b2n 与b2n+2 同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b2=2 A，即有b4=2 A，重复使用上述结论，
即得b2n A， dn =22n-1； ………………………………………8分
（Ⅲ）（1）当n=1时，所以因为 ，所以S1=1； ………………..9分
（2）当n≥2时，由（Ⅱ）知，数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A，则 ，且k . ……………….. 11分
下面讨论正整数k与n的关系：
数列 中的第n项不外如下两种情况：
① 或者② ，
若①成立，即有 ，
若②成立，即有 ，
有 或者 ，
显然 = N*，所以 .
综上所述， .


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