超越不等式
一,理论知识汇总
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等价转化
f(x) g(x) >0?f(x)g(x)>0
f(x) g(x) <0?f(x)g(x)<0
f(x) g(x) ≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0
f(x) g(x) ≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0
例: 解关于x的不等式 ax-1 x+1 >0.
解 原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0
（1）当a=0时,原不等式为-(x+1)>0 解得x<-1;
（2）当a>0时,得 1 a >0解得x<-1或x> 1 a
（3）当a<0时,原不等式可化为 (x- 1 a )(x+1)<0
①若a=-1时,不等式无解; ②若a<-1时, 1 a >-1,解得-1
③若-1
综上所述：当a=0时,解集为(-∞,-1); 当a>0时,解集为(-∞,-1)∪( 1 a ,+∞);
当a=-1时,解集为?; 当a<-1时,解集为(-1, 1 a ); 当-1
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿线法.
注意: (1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿线法的使用对象及使用方法
使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例:解不等式 x2-4x+1 3x2-7x+2 ≤1
解: 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0
根据穿线法如图
不等式解集为:{x?x< 1 3 或 1 2 ≤x≤1或x>2}.
（三）指数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?
a>1时,af(x)>ag(x) f(x)>g(x);
0
ag(x) f(x)（四）对数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a>1时,logaf(x)>logag(x f(x)>g(x)>0;
0logag(x) 0（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图，得出满足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，
还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx 及y2=a(或y3=b), 的图像，先得出满足条件x∈ 的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:?
tanx≥a的解集是: .
tanx≤b的解集是: .
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
练习：
1.不等式 的解集是 ( )?
?A.( ,1)∪(1,10) B.( ,1)∪(2,10) C.( , 10) D.(1,+∞)
2.已知不等式 对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 ?A.a> B.a< ? C.03.不等式 解集是 ( )?
?A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是 ( )?
?A.(2,4) B.(-2,4) ?C.(-4,2) ?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0, ),则不等式 的解集是 ( )?
?A.(-1, ) B.( , ) ?C.(-1, ) D.( ,1)
6.设A={x >lg(x-1)},B={x ≤lg(x-1)},则A∪B等于 ( )?
?A. R ?B.(1,+∞) ?C.(1, ) ?D.(1, )
7.不等式 <1的解集为 ( )?
?A.(0, ) B.( ,+∞) ? C.( ,1) ?D.(0, )∪(1,+∞)
8.不等式 的解集为 ( )?
?A.(3,+∞) ?B.(1,5) ?C.(1,4)∪(4,5) ? D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx<0在(0, )范围内恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A. ? B. ? C. ? D.
10.不等式 >5x-3的解集是 .
11.当012.不等式sinx≤- 的解集为 .
13.不等式tan(x- )≥ 的解集为 .
14，解不等式 （1）(x+4)(x+5)2(2-x)3<0 （2） x2-4x+1 3x2-7x+2 ≤1
15.解下列指数不等式:?
(1) ; (2)2x-3+4x-3>0.
16.解对数不等式:logx5-2log x>3.?
17.解关于x的不等式:
18.解不等式:
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