平面直角坐标系中的基本公式检测考试题(含答案)

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 优化训练
1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5　　　　　　　　　　B．－1
C．1 D．－5
解析：选D.由题意知，x＝－3，y＝－2，则x＋y＝－5.
2．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是(　　)
A．(－2,0) B．(1,0)
C．(1.5,0) D．(3.4,0)
答案：D
3．若A(a，－ab)，B(b，ab)，则d(A，B)等于(　　)
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
答案：B
4．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1,2)，则d(P，Q)＝________.
答案：25
5．已知点P到x轴和点A(－4,2)的距离都是10，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由距离公式，得
y＝10?x＋4?2＋?y－2?2＝10，解得x＝2，y＝10，
∴P(2,10)．
答案：(2,10)
1．点A(2a,1)与点B(2，a)之间的距离为(　　)
A.5(a－1) B.5(1－a)
C.5a－1 D．5(a－1)2
解析：选C.d(A，B)＝?2a－2?2＋?1－a?2＝5a－1.
2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4 B.13
C.15 D.17
解析：选D.
由题意知1＝x－22y＝5－32?x＝4y＝1，d＝42＋12＝17.
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是(　　)
A．(4，－3) B．(1,4)
C．(－4，－2) D．(－2，－2)
解析：选C.设C(x，y)，则2＋8＋x3＝2，∴x＝－4.
3＋?－4?＋y3＝－1，∴y＝－2，故选C.
4．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在(　　)
A．P1处 B．P2处
C．P3处 D．P4处
解析：选A.以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)＝AP2＋BP2＋CP2＋DP2＋EP2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋10800＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5040.
当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P为(24,24)与点P1重合．
5．若平行四边形的三个顶点为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不可能是(　　)
A．(9，－4) B．(1,8)
C．(－3,0) D．(1，－3)
解析：选D.设第四个顶点为(x，y)，然后分三种情况讨论．若(3，－2)，(5,2)是一条对角线的两端点，则有3＋52＝－1＋x2，－2＋22＝4＋y2，∴x＝9，y＝－4，即第四个顶点为(9，－4)；若(5,2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(1,8)；若(3，－2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(－3,0)．
6．点A(2,0)，B(4,2)，若AB＝2AC，则C点坐标为(　　)
A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1)
C．(－1,1)或(1,3) D．无数多个
解析：选D.设C(x，y)，则?4－2?2＋?2－0?2
＝2?x－2?2＋?y－0?2，
即(x－2)2＋y2＝2.∴存在无数多个C点．
7．点A(－1,2)关于原点的对称点到点(3，m)的距离是25，则m的值是________．
解析：点(－1,2)关于原点的对称点为(1，－2)，
∴?1－3?2＋?－2－m?2＝25，解得m＝2或－6.
答案：2或－6
8．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0,1)、C(0,3)，则此三角形的形状是________．
解析：∵AB＝?3－0?2＋?2－1?2＝2，
AC＝?3－0?2＋?2－3?2＝2，
BC＝?0－0?2＋?1－3?2＝2，
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
9．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取得最小值时，实数a的值是________．
解析：AB2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2
＝2a2－2a＋25
＝2(a－12)2＋492
∴a＝12时，AB最小．
答案：12
10．求函数f(x)＝x2－12x＋37＋x2－4x＋13的最小值．
解：∵x2－12x＋37＝?x－6?2＋1，
x2－4x＋13＝?x－2?2＋9，
∴可设A(6,1)、B(2,3)、P(x,0)，则
f(x)＝PA＋PB.
要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P，使PA＋PB最小．
设B关于x轴的对称点为B′，
B′(2，－3)(如图所示)．
PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′，
AB′＝?2－6?2＋?－3－1?2＝42，
∴当B′、P、A三点共线时取等号，
即PA＋PB最小值为42，
也就是f(x)的最小值为42.
11．已知两点A(2,2)和B(5，－2)，试问在坐标轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
解：假设在x轴上能找到一点P(x,0)，使∠APB＝90°.
由勾股定理，知PA2＋PB2＝AB2，所以(x－2)2＋22＋(x－5)2＋(－2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2.
化简，得x2－7x＋6＝0.解得x＝1或x＝6.
所以在x轴上存在点P(1,0)或P(6,0)，使得∠APB为直角．
假设在y轴上能找到一点P(0，y)，使∠APB＝90°.
同理，由勾股定理得：(0－2)2＋(y－2)2＋(0－5)2＋(y＋2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2，
化简，得y2＋6＝0，此方程无实数解．
所以在y轴上不存在点P，使∠APB是直角．
综上所述，存在两点，P的坐标为(1,0)或(6,0)，使得∠APB为直角．
12．证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为C(a＋b，c)．
因为AB2＝a2，CD2＝a2，
AD2＝b2＋c2，BC2＝b2＋c2，
AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(a－b)2＋c2，
所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝2(a2＋b2＋c2)，
而AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)，
所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝AC2＋BD2.


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