2013年高三数学二模理科试卷（东城区附答案）

北京市东城区2014-2013学年度第二学期高三综合练习（二）
数学（理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1、已知集合 ， ，那么集合 是（ ）
A． B．
C． D．
2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是： ， ， ， ， ， ，则图中 的值等于（ ）
A． B． ?
C． D．
3、已知圆的极坐标方程是 ，那么该圆的直角坐标方程是（ ）
A． B．
C． D．
4、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5、程序框图，运行相应的程序，当输入 的值为 时，输出 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6、已知 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
7、过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ， 两点，若 ，则 的中点到 轴的距离等于（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， （其中 是 的导函数），若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9、已知向量 ， ，若 ，则 ________．
10、若复数 是纯虚数，则实数 的值为________．
11、各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为________， 的值为________．
12、如图， 为⊙ 的直径， 切⊙ 于点 ，且过点 的割线 交 的延长线于点 ，若 ， ，则 ________， ________．
13、5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种．
14、在数列 中，若对任意的 ，都有 （ 为常数），则称数列 为比等差数列， 称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列 满足 ，则数列 是比等差数列，且比公差 ；
③若数列 满足 ， ， （ ），则该数列不是比等差数列；
④若 是等差数列， 是等比数列，则数列 是比等差数列．
其中所有真命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15、（本小题共13分）
已知函数 ．
⑴ 求 的最小正周期；
⑵ 当 时，求 的取值范围．
16、（本小题共13分）
某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）
优秀良好合格
男
女
按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取 人，其中成绩为优的有 人．
⑴ 求 的值；
⑵ 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为 的样本，从中任选 人，记 为抽取女生的人数，求 的分布列及数学期望．
17、（本小题共14分）
如图， 是等边三角形， ， ，将 沿 折叠到 的位置，使得 ．
⑴ 求证： ；
⑵ 若 ， 分别是 ， 的中点，求二面角 的余弦值．
18、（本小题共14分）
已知函数 （ ）．
⑴ 求 的单调区间；
⑵ 如果 是曲线 上的任意一点，若以 为切点的切线的斜率 恒成立，求实数 的最小值；
⑶ 讨论关于 的方程 的实根情况．
19、（本小题共13分）
已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，原点到过点 ， 的直线的距离是 ．
⑴ 求椭圆 的方程；
⑵ 若椭圆 上一动点 关于直线 的对称点为 ，求 的取值范围．
⑶ 如果直线 （ ）交椭圆 于不同的两点 ， ，且 ， 都在以 为圆心的圆上，求 的值．
20、（本小题共13分）
已知数列 ， ， ， ， （ ）．
⑴求 ， ；
⑵是否存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ；
⑶设 ，问 是否为有理数，说明理由．
北京市东城区2014-2013学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案（理科）
一、（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）A （4）D
（5）D （6）B （7）D （8）C
二、题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13） （14）①③
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为
．
所以 的最小正周期 ．
（Ⅱ） 因为 ，
所以 ．
所以 的取值范围是 ． ………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设该年级共 人，由题意得 ，所以 ．
则 ．
（Ⅱ）依题意， 所有取值为 ．
，
，
．
的分布列为：
． ………………………………………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明：因为
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ．
（Ⅱ）因为△ 是等边三角形，
， ，
不防设 ，则 ，
又因为 ， 分别为 ， 的中点，
由此以 为原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 ．
则有 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ．
则
即
令 ，则 ．
所以 ．
又平面 的一个法向量为 ．
所以 ．
所以二面角 的余弦值为 ． ………………………………14分
（18）（共14分）
解:(Ⅰ) ，定义域为 ，
则 ．
因为 ，由 得 ， 由 得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(Ⅱ)由题意，以 为切点的切线的斜率 满足
，
所以 对 恒成立．
又当 时， ，
所以 的最小值为 ．
(Ⅲ)由题意，方程 化简得
+
令 ，则 ．
当 时， ，
当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以 在 处取得极大值即最大值，最大值为 ．
所以 当 ，即 时， 的图象与 轴恰有两个交点，
方程 有两个实根，
当 时， 的图象与 轴恰有一个交点，
方程 有一个实根，
当 时， 的图象与 轴无交点，
方程 无实根． ……14分
（19）（共13分）
解: (Ⅰ)因为 ， ，
所以 ．
因为原点到直线 ： 的距离 ，
解得 ， ．
故所求椭圆 的方程为 ．
(Ⅱ)因为点 关于直线 的对称点为 ，
所以
解得 ， ．
所以 ．
因为点 在椭圆 : 上，
所以 ．
因为 ， 所以 ．
所以 的取值范围为 ．
(Ⅲ)由题意
消去 ，整理得
．
可知 ．
设 ， ， 的中点是 ，
则 ， ．
所以 ．
所以 ．
即 ．
又因为 ，
所以 ．所以 ． ………………………………13分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ） ；
　　　　 ．
（Ⅱ）假设存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ．
　　　　则存在无数个正整数 ，使得对任意的 ，有 ．
　　　　设 为其中最小的正整数．
　　　　若 为奇数，设 （ ），
　　　　则 ．
　　　　与已知 矛盾．
　　　　若 为偶数，设 （ ），
　　　　则 ，
　　　　而
　　　　从而 ．
　　　　而 ，与 为其中最小的正整数矛盾．
　　　　综上，不存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ．
（Ⅲ）若 为有理数，即 为无限循环小数，
则存在正整数 ， ，对任意的 ，且 ，有 ．
与（Ⅱ）同理，设 为其中最小的正整数．
　　　若 为奇数，设 （ ），
当 时，有 ．
　　　与已知 矛盾．
　　　若 为偶数，设 （ ），
　　　当 时，有 ，
　　　而
　　　从而 ．
　　　而 ，与 为其中最小的正整数矛盾．


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