逍遥学能 2013-03-15 14:04
2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）
一、(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )
A．D＋E＝2 B．D＋E＝1
C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[X k b 1 . c o
解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.
2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．已知F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使PF1•PF2取最大值的点P为( )
A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)
解析 D 由椭圆定义，PF1＋PF2＝2a＝4，∴PF1•PF2≤PF1＋PF222＝4，
当且仅当PF1＝PF2，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
4．已知椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( )
A.165 B．3 C.163 D.253
解析 A 椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<π2，∴∠PF1F2＝π2或∠PF2F1＝π2，点P到y轴的距离d＝ xp，又yp＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得xP＝165，故选A.
5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0
C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0
解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2，
∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
6．“>n>0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 C 方程可化为x21＋y21n＝1，若焦点在y轴上，则1n>1>0，即>n>0.
7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A.54 B．5 C.52 D.5
解析 D 双曲线的渐近线为y＝±bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点
即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.
∴Δ＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5.
8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1→•PF2→＝( )
A．3 B.3
C．23 D．2
解析 D ∵S△PF1F2＝b2tan60°2＝3×tan 30°＝3＝12PF1→•PF2→•sin 60°，∴PF1→PF2→＝4，∴PF1→•PF2→＝4×12＝2.
9．设椭圆x22＋y2n2＝1(>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )
A.x212＋y216＝1 B.x216＋y212＝1
C.x248＋y264＝1 D.x264＋y248＝1
解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得c＝2，c＝12，
∴＝4，n2＝12，∴方程为x216＋y212＝1.
10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的 一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A.2 B.3
C．2 D．3
解析 B 设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝
1可得y2＝b4a2，∴AB＝2×b2a＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.
11．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( )
A.5 B．25
C.3 D．23
解析 B ∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点(1，)(>0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线A平行，则实数a的值为( )
A.19 B.14
C.13 D.12
解析 A 由于(1，)在抛物线上，∴2＝2p，而到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点到抛物线的准线x＝－p2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p＝8，由此可以求得＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，∴kA＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝±xa，根据题意得，41＋a＝1a，∴a＝19.
二、题(本大题共4小题，每小题5分， 共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________.
解析 l1⊥l2⇔a•2a－1＝－1，解得a＝13.
【答案】 13
14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，AB＝22，则实数k＝________.
解析 ∵AB＝22，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝22－2＝2.即3kk2＋1＝2，解得k＝± 147.
【答案】 ±147
15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
解析 如图，圆的方程可化为
(x－3)2＋(y－4)2＝5，
∴O＝5，OQ＝25－5＝25.
在△OQ中，
12QA•O＝12OQ•Q，
∴AQ＝25×55＝2，∴PQ＝4.
【答案】 4
16．在△ABC中，BC→＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且BD→－CD→＝22，则顶点A的轨迹方程为________．
解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．
则BE＝BD，CD＝CF，
AE＝AF.∴AB－AC＝22，
∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴方程为x22－y22＝1(x>2)．
【答案】 x22－y22＝1(x>2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．
解析 (1)设圆心为(a，b)，
则b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，
故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；
当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，
则由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．
综上，直线方程为x＝0.
18．(12分)(2011•合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.
(1)求椭圆方程；
(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠AN的大小是否为定值，并说明理由．
解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，
解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.
(2)由题意可设直线N的方程为：x＝ky－65，
联立直线N和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.
设(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，
又A(－2,0)，则A→•AN→＝(x1＋2，y1)•(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以∠AN＝π2.
19．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPO＝e(e为椭圆离心率)，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，
由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.
∴椭圆方程为x216＋y27＝1.
(2)设(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]，
由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，
故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①
由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，
代入①式并化简，得9y2＝112.
∴点的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)，
∴轨迹是两条平行于x轴的线段．
20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且PA＝d，试求d的最小值．
解析 设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20＝2x0，
∴d＝PA＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.
∵a>0，x0≥0，
∴(1)当0<a<1时，1－a>0，
此时有x0＝0时，din＝1－a2＋2a－1＝a；
(2)当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0＝a－1时，din＝2a－1.
21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点(3，)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：点在以F1F2为直径的圆上；
(3)求△F1F2的面积．
解析 (1)∵双曲线离心率e＝2，
∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－10)在双曲线上，
知λ＝42－(－10)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)若点(3，)在双曲线上，则32－2＝6，∴2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，
∴F1→•F2→＝(23－3，－)•(－23－ 3，－)＝2－3＝0，
∴F1→⊥F2→，故点在以F1F2为直径的圆上．
(3)S△F1F2＝12F1F2•＝23×3＝6.
22．(12分)已知实数>1，定点A(－,0)，B(,0)，S为一动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为－12.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．
解 析 (1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋，kSB＝y－0x－.
由题意，得y2x2－2＝－12，即x22＋y2＝1(x≠±)．
∵>1，
∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2，短轴长为2.
(2)当＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x≠±2)．
由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.
∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．
(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，
设点P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则
d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，
d2＝2－a，
∴d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5×a2＋2a＋2a－22.
令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，
则f′(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24
＝－6a＋8a－23.
令f′(a)＝0，得a＝－43.
∵当a<－43时，f′(a)<0；
当－43<a<2时，f′(a)>0.
∴f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，
∴d1d2in＝5•f－43＝22，
又椭圆的离心率为22，
∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率．