基本初等函数

第三章基本初等函数
第一讲幂函数
1、幂函数的定义
一般地，形如 （ R）的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数.
如 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
注意： 中，前面的系数为1，且没有常数项
2、幂函数的图像
（1） （2） （3） （4） （5）
定义域RRR

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减
定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）
3、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因： ）；
（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；
（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

第二讲指数函数
1、指数
（1）n次方根的定义
若xn=a，则称x为a的n次方根，“ ”是方根的记号.
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.
（2）方根的性质
①当n为奇数时， =a.②当n为偶数时， =a=
（3）分数指数幂的意义
①a = （a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.
②a = = （a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.
2、指数函数的定义
一般地，函数 （ ＞0且 ≠1）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为R.
说明：
因为 ＞0， 是任意一个实数时， 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

若 ＜0，如 在实数范围内的函数值不存在.
若 =1, 是一个常量，
不符合 .
3、指数函数的图像及其性质

图象特征函数性质
＞1
0＜ ＜1
＞1
0＜ ＜1

向 轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和 轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在 轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1） =1

自左向右，
图象逐渐上升自左向右，
图象逐渐下降增函数减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1在第一象限内的图
象纵坐标都小于1 ＞0， ＞1
＞0， ＜1

在第二象限内的图
象纵坐标都小于1在第二象限内的图
象纵坐标都大于1 ＜0， ＜1
＜0， ＞1

（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
（2）在 （ ＞0且 ≠1）值域是
（3）若
（4）对于指数函数 （ ＞0且 ≠1），总有
（5）当 ＞1时，若 ＜ ，则 ＜ ；
第三讲对数函数
1、对数
（1）对数的概念
一般地，若 ，那么数 叫做以a为底N的对数，记作
叫做对数的底数，N叫做真数.
如： ，读作2是以4为底，16的对数.
，则 ，读作 是以4为底2的对数.
（2）指数式与对数式的关系：
ab=N logaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.
两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质:
①loga（MN）=logaM+logaN.　　　　　　　　　②loga =logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④对数换底公式：logbN= （a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
（4）两类对数
①以10为底的对数称为常用对数， 常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数， 常记为 .
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即 .
2、对数函数的概念
一般地，我们把函数 （ ＞0且 ≠1）叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
3、对数函数的图象及其性质

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
图象的特征函数的性质
（1）图象都在 轴的右边
（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0
（3）从左往右看，当 ＞1时，图象逐渐上升，当0＜ ＜1时，图象逐渐下降.（3）当 ＞1时， 是增函数，当
0＜ ＜1时， 是减函数.
（4）当 ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.当0＜ ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0.（4）当 ＞1时
＞1，则 ＞0
0＜ ＜1， ＜0
当0＜ ＜1时
＞1，则 ＜0
0＜ ＜1， ＜0

由上述表格可知，对数函数的性质如下
＞1
0＜ ＜1

性
质（1）定义域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）过点（1，0），即当 =1， =0；

（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数

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