逍遥学能 2014-01-29 13:31
一、选择题
1.(2010全国Ⅱ理)如果等差数列中，，那么( ).
A.14 B.21 C.28 D.35
考查目的：考查等差数列的基本运算和性质.
答案：C
解析：∵ ，∴，∴.
2.(2009辽宁文)已知为等差数列，且，，则公差( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查等差数列的概念和基本运算.
答案：B
解析：∵，而，∴.
3.(2012四川理)设函数，是公差为的等差数列，，则( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查等差数列的概念和简单性质、两角和与差的余弦公式，考查推理判断能力.
答案：D
解析：∵，数列是公差为的等差数列，∴，根据两角和与差的余弦公式，得；∵不是的倍数，∴，且，∴，故.
二、填空题
4.(2009山东文)在等差数列中，，，则 .
考查目的：考查等差数列的概念及基本运算．
答案：13.
解析：设等差数列的公差为，则由及，得，∴.
5.(2007江西理)已知数列对于任意，有，若，则 ．
考查目的：考查数列及等差数列的概念、通项公式.
答案：4
解析：令，，得，∴是首项为，公差为的等差数列，∴ .
6.数列中，，，又数列为等差数列，则 ．
考查目的：考查数列及等差数列的概念、通项公式及基本运算.
答案：.
解析：设，则是等差数列，设公差为；∵，，∴，，∴，∴，即，解得.
三、解答题
7.己知为等差数列，，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数依次构成一个新的等差数列，求：
⑴原数列的第12项是新数列的第几项？
⑵新数列的第29项是原数列的第几项？
考查目的：考查等差数列及其通项公式以及运算求解能力.
答案：⑴第45项；⑵第8项.
解析：设新数列为，其公差为，则，∵，∴，得，∴.又，∴，即原数列的第项为新数列的第项．
⑴当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项；
⑵由，得，故新数列的第29项是原数列的第8项．
8.(2010安徽理改编)设为等差数列且数列的每一项都不为0.证明：对任何，都有.
考查目的：考查等差数列的概念、裂项相消求和，推理论证能力和运算求解能力.
解析：设数列的公差为.若，则所证等式显然成立.若 高三，则
.